Главная » Обществознание » Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов. Решение дифференциальных уравнений с помощью Построение решений дифференциальных уравнений с помощью рядов

Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов. Решение дифференциальных уравнений с помощью Построение решений дифференциальных уравнений с помощью рядов

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

Северо-Казахстанский государственный университет

им. М.Козыбаева

Факультет Информационных Технологий

Кафедра «Математика»

Курсовая работа защищена

с оценкой «_____________»

«___»___________ 2013 год

зав. кафедрой____________

А. Таджигитов

КУРСОВАЯ работа по математике

«ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ»

РУКОВОДИТЕЛЬ Валеева М.Б. ___________

Петропавловск 2013

АҢДАПТА

Берілген курстық жұмыста қатарлармен және дифференциалды теңдемелермен байланысты теориялық сұрақтар қарастырылған. Дифференциалды еңдеменің интегралдауының мысалдары және маңғаз қатарлардың көмегімен қарастырылған.

АННОТАЦИЯ

В данной курсовой работе рассмотрены теоретические вопросы, связанные с рядами и дифференциальными уравнениями. Рассмотрены примеры интегрирования дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.

the given work are considered theoretical questions which are related to the series and differential equations. There are considered examples of the integration partial differential equations using power series.

ВВЕДЕНИЕ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, СВЯЗАННЫЕ С РЯДАМИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ

1 Ряды. Основные понятия. Необходимый признак сходимости

2 Степенные ряды. Свойства степенных рядов

3 Ряд Тейлора. Ряд Маклорена

4 Дифференциальные уравнения

5 Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов

ПРИМЕРЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ ПРИ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

1 Уравнение Эйри

2 Уравнение Бесселя

3 Примеры интегрирования

4 Примеры интегрирования в Maple

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Термин «дифференциальное уравнение» принадлежит Лейбницу (1676, опубликовано в 1684 г.). Начало исследований по дифференциальным уравнениям восходит ко временам Лейбница, Ньютона, в работах которых исследовались первые задачи, приводящие к таким уравнениям. Лейбниц, Ньютон, братья Я. и И. Бернулли разрабатывали методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. В качестве универсального способа использовались разложения интегралов дифференциальных уравнений в степенные ряды .

Сейчас широкое внедрение в науку вычислительных методов, связанное с появлением вычислительных средств большой мощности, требует переоценки значения различных разделов математики и, в частности, разделов теории обыкновенных дифференциальных уравнений. В настоящее время выросло значение методов качественного исследования решений дифференциальных уравнений, а также методов приближенного нахождения решений .

Решения многих дифференциальных уравнений не выражаются в элементарных функциях или квадратурах. В этих случаях пользуются приближенными методами интегрирования дифференциальных уравнений. Одним из таких методов является представление решения уравнения в виде степенного ряда; сумма конечного числа членов этого ряда будет приближенно равна искомому решению. Этим обусловлена актуальность выбранной темы исследования.

Цель данной работы: показать применение метода степенных рядов при интегрировании дифференциальных уравнений.

Объектом исследования выступает процесс интегрирования дифференциальных уравнений методом степенных рядов.

Предметом исследования являются формы, методы и средства интегрирования дифференциальных уравнений степенными рядами.

В соответствии с поставленной целью можно сформулировать основные задачи данной работы:

Рассмотреть основные понятия, связанные с рядами и дифференциальными уравнениями.

Проанализировать метод интегрирования дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.

Применить метод степенных рядов для решения различных задач.

Структура работы: титульный лист, бланк задания на работу, аннотация, содержание, введение, основная часть, заключение, список использованной литературы.

Основная часть работы состоит из двух глав. В первой главе раскрываются понятия ряда, степенного ряда, ряда Тейлора, дифференциальных уравнений. Во второй главе рассмотрены примеры интегрирования дифференциальных уравнений степенными рядам.

Для исследования теоретической части работы использовались материалы учебной литературы и периодических изданий, указанные в списке использованной литературы.

Объем работы: 26 страниц.

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, СВЯЗАННЫЕ С РЯДАМИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ

1.1 Ряды. Основные понятия. Необходимый признак сходимости

В математических приложениях, а также при решении некоторых задач в экономике, статистике и других областях рассматриваются суммы с бесконечным числом слагаемых. Здесь мы дадим определение того, что понимается под такими суммами.

Пусть задана бесконечная числовая последовательность . Числовым рядом или просто рядом называется выражение (сумма) вида

,(1.1)

числа называются членами ряда, - общим или n-м членом ряда.

Чтобы задать ряд (1.1) достаточно задать функцию натурального аргумента вычисления n-го члена ряда по его номеру

Пример 1.1. Пусть . Ряд

(1.2)

называется гармоническим рядом.

Из членов ряда (1.1) образуем числовую последовательность частичных сумм где - сумма первых членов ряда, которая называется n-й частичной суммой, т.е.

(1.3)

Числовая последовательность при неограниченном возрастании номера может:

) иметь конечный предел;

) не иметь конечного предела (предел не существует или равен бесконечности).

Ряд (1.1) называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм (1.3) имеет конечный предел, т.е.

В этом случае число называется суммой ряда (1.1) и пишется

Ряд (1.1) называется расходящимся, если последовательность его частичных сумм не имеет конечного предела. Расходящемуся ряду не приписывают никакой суммы.

Таким образом, задача нахождения суммы сходящегося ряда (1.1) равносильна вычислению предела последовательности его частичных сумм.

Доказательство теоремы следует из того, что , и если

S - сумма ряда (1.1), то

Условие (1.4) является необходимым, но недостаточным условием для сходимости ряда. Т.е., если общий член ряда стремится к нулю при , то это не значит, что ряд сходится. Например, для гармонического ряда (1.2)

однако, он расходится.

Следствие (Достаточный признак расходимости ряда): если общий член ряда не стремится к нулю при то этот ряд расходится .

Пример 1.2. Исследовать на сходимость ряд

Для этого ряда Следовательно, данный ряд расходится .

1.1 1.2 Степенные ряды. Свойства степенных рядов

Степенные ряды являются частным случаем функциональных рядов.

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

здесь - постоянные вещественные числа, называемые коэффициентами степенного ряда;

Некоторое постоянное число;

Переменная, принимающая значения из множества действительных чисел.

При степенной ряд (1.5) принимает вид

(1.6)

Степенной ряд (1.5) называют рядом по степеням разности ряд (1.6) - рядом по степеням Если переменной придать какое-либо значение, то степенной ряд (1.5) (или (1.6)) превращается в числовой ряд, который может сходиться или расходиться.

Областью сходимости степенного ряда называется множество тех значений при которых степенной ряд сходится.

Теорема 1.2 (Теорема Абеля): если степенной ряд (1.6) сходится при то он абсолютно сходится при всех значениях удовлетворяющих неравенству если же ряд (1.6) расходится при то он расходится при всех значениях удовлетворяющих неравенству

Теорема Абеля дает ясное представление о структуре области сходимости степенного ряда.

Теорема 1.3: область сходимости степенного ряда (1.6) совпадает с одним из следующих интервалов:

) ; 2) ; 3) ; 4) ,

где - некоторое неотрицательное действительное число или

Число называется радиусом сходимости, интервал - интервалом сходимости степенного ряда (1.6).

Если то интервал сходимости представляет собой всю числовую ось

Если то интервал сходимости вырождается в точку

Замечание: если - интервал сходимости для степенного ряда (1.2), то - интервал сходимости для степенного ряда (1.5).

Из теоремы 1.3 следует, что для практического нахождения области сходимости степенного ряда (1.6) достаточно найти его радиус сходимости и выяснить вопрос о сходимости этого ряда на концах интервала сходимости т.е. при и

Радиус сходимости степенного ряда можно найти по одной из следующих формул:

формула Даламбера:

формула Коши:

Пример 1.3. Найти радиус сходимости, интервал сходимости и область сходимости степенного ряда

Найдем радиус сходимости данного ряда по формуле

В нашем случае

Следовательно, интервал сходимости данного ряда имеет вид

Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости.

который расходится как гармонический ряд.

При степенной ряд превращается в числовой ряд

Это - знакочередующийся ряд, члены которого убывают по абсолютной величине и

Следовательно, по признаку Лейбница этот числовой ряд сходится.

Таким образом, промежуток - область сходимости данного степенного ряда .

Степенной ряд (1.6) представляет собой функцию определенную в интервале сходимости т.е.

Приведем несколько свойств функции

Свойство 1. Функция является непрерывной на любом отрезке принадлежащем интервалу сходимости

Свойство 2. Функция дифференцируема на интервале и ее производная может быть найдена почленным дифференцированием ряда (1.6), т.е.

для всех

Свойство 3. Неопределенный интеграл от функции для всех может быть получен почленным интегрированием ряда (1.6), т.е.

для всех

Следует отметить, что при почленном дифференцировании и интегрировании степенного ряда его радиус сходимости не меняется, однако его сходимость на концах интервала может измениться .

Приведенные свойства справедливы также и для степенных рядов (1.5).

Пример 1.4. Рассмотрим степенной ряд

Область сходимости этого ряда, как показано в примере 1.3, есть промежуток

Почленно продифференцируем этот ряд:

(1.7)

Исследуем поведение этого ряда на концах интервала сходимости.

Этот числовой ряд расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости

который не существует.

При степенной ряд (1.7) превращается в числовой ряд

который также расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости.

Следовательно, область сходимости степенного ряда, полученного при почленном дифференцировании исходного степенного ряда, изменилась и совпадает с интервалом .

1.3 Ряд Тейлора. Ряд Маклорена

Пусть - дифференцируемая бесконечное число раз функция в окрестности точки т.е. имеет производные любых порядков. Рядом Тейлора функции в точке называется степенной ряд

(1.8)

В частном случае при ряд (1.8) называется рядом Маклорена:

Возникает вопрос: В каких случаях ряд Тейлора для дифференцированной бесконечное число раз функции в окрестности точки совпадает с функцией ?

Возможны случаи, когда ряд Тейлора функции сходится, однако его сумма не равна

Приведем достаточное условие сходимости ряда Тейлора функции к этой функции.

Теорема 1.4: если в интервале функция имеет производные любого порядка и все они по абсолютной величине ограничены одним и тем же числом, т.е. то ряд Тейлора этой функции сходится к для любого из этого интервала т.е. имеет место равенство

Для выяснения выполнения этого равенства на концах интервала сходимости требуются отдельные исследования.

Следует отметить, что если функция разлагается в степенной ряд, то этот ряд является рядом Тейлора (Маклорена) этой функции, причем это разложение единственно .

1.4 Дифференциальные уравнения

Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка для функции аргумента называется соотношение вида

где - заданная функция своих аргументов.

В названии этого класса математических уравнений термин «дифференциальное» подчеркивает, что в них входят производные (функции, образованные как результат дифференцирования); термин - «обыкновенное» говорит о том, что искомая функция зависит только от одного действительного аргумента.

Обыкновенное дифференциальное уравнение может не содержать в явном виде аргумент искомую функцию и любые ее производные, но старшая производная обязана входить в уравнение n-го порядка .

Например,

А) - уравнение первого порядка;

Б) - уравнение третьего порядка.

При написании обыкновенных дифференциальных уравнений часто используются обозначения производных через дифференциалы:

В) - уравнение второго порядка;

Г) - уравнение первого порядка, образующее после деления на эквивалентную форму задания уравнения:

Функция называется решением обыкновенного дифференциального уравнения, если при подстановке в него оно обращается в тождество.

Найти тем или иным приемом, например, подбором, одну функцию, удовлетворяющую уравнению, не означает решить его. Решить обыкновенное дифференциальное уравнение - значит найти все функции, образующие при подстановке в уравнение тождество. Для уравнения (1.10) семейство таких функций образуется с помощью произвольных постоянных и называется общим решением обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка, причем число констант совпадает с порядком уравнения: Общее решение может быть, и не разрешено явно относительно В этом случае решение принято называть общим интегралом уравнения (1.10).

Задавая некоторые допустимые значения всем произвольным постоянным в общем решении или в общем интеграле, получаем определенную функцию, уже не содержащую произвольных констант. Эта функция называется частным решением или частным интегралом уравнения (1.10). Для отыскания значений произвольных постоянных, а следовательно, и частного решения, используются различные дополнительные условия к уравнению (1.10). Например, могут быть заданы так называемые начальные условия при :

В правых частях начальных условий (1.11) заданы числовые значения функции и производных, причем, общее число начальных условий равно числу определяемых произвольных констант.

Задача отыскания частного решения уравнения (1.10) по начальным условиям называется задачей Коши .

1.5 Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов

В общем случае нахождение точного решения обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) первого порядка его интегрированием невозможно. Тем более это неосуществимо для системы ОДУ. Это обстоятельство привело к созданию большого числа приближенных методов решения ОДУ и их систем. Среди приближенных методов можно выделить три группы: аналитические, графические и численные. Разумеется, подобная классификация в известной мере условна. Например, графический метод ломаных Эйлера лежит в основе одного из способов численного решения дифференциального уравнения.

Интегрирование ОДУ при помощи степенных рядов является приближенным аналитическим методом, применяемым, как правило, к линейным уравнениям не ниже второго порядка. Ограничимся для простоты рассмотрением линейного однородного ОДУ второго порядка с переменными коэффициентами

(1.12)

Замечание: достаточно широкий класс функций можно представить в виде

где - некоторые постоянные. Это выражение называют степенным рядом.

Предположим, что функции можно разложить в сходящиеся в интервале ряды:

Имеет место следующая теорема (опуская доказательство, приведем лишь ее формулировку) .

Теорема 1.5: если функции имеют вид (1.13), то любое решение ОДУ (1.12) представимо в виде сходящегося при степенного ряда:

(1.14)

Эта теорема не только дает возможность представить решение в виде степенного ряда, но и, что самое главное, обосновывает сходимость ряда (1.14). Для простоты положим в (1.13) и (1.14) и будем искать решение ОДУ (1.12) в виде

(1.15)

Подставив (1.15) в (1.12), получим равенство

Для выполнения (1.16) необходимо, чтобы коэффициент при каждой степени был равен нулю.

Из этого условия получаем бесконечную систему линейных алгебраических уравнений

из которой можно последовательно найти если задать значения и (в случае задачи Коши для ОДУ (1.12) они входят в начальные условия ).

Если функции являются рациональными, т.е.

где - многочлены, то в окрестностях точек, в которых или решение в виде степенного ряда может не существовать, а если и существует, то может расходиться всюду, за исключением точки Это обстоятельство было известно еще Л. Эйлеру, который рассмотрел уравнение первого порядка

Этому уравнению удовлетворяет степенной ряд

Нетрудно, однако, видеть, что этот ряд расходится при любом

Решение ОДУ в виде расходящегося степенного ряда называют формальным .

2. ПРИМЕРЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ ПРИ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Уравнение Эйри

Решение уравнения Эйри

будем искать в форме степенного ряда (1.15). Тогда равенство (1.16) примет вид

Коэффициент при равен Следовательно, Из равенства нулю коэффициента при находим Коэффициент при равен Отсюда

Из этой формулы получаем

Аналогично находим

Коэффициенты и остаются неопределенными. Для нахождения фундаментальной системы решений положим вначале а затем наоборот. В первом случае имеем

а во втором

На основании теоремы 1.5 эти ряды являются сходящимися всюду на числовой прямой

Функции называют функциями Эйри. При больших значениях асимптотическое поведение этих функций описывают формулы

Графики этих функций изображены на рисунке 1.

Рисунок 1

При неограниченном увеличении нули всякого решения уравнения Эйри неограниченно сближаются, что видно из асимптотического представления этих решений, но совсем не очевидно из представления функций Эйри в виде сходящихся степенных рядов. Отсюда следует, что способ поиска решения ОДУ при помощи ряда, вообще говоря, малопригоден при решении прикладных задач, а само представление решения в виде ряда затрудняет анализ качественных свойств полученного решения .

2.1 Уравнение Бесселя

Линейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами, имеющее вид

называется уравнением Бесселя.

Решение уравнения (2.1) будем искать в виде обобщенного степенного ряда, т.е. произведения некоторой степени на степной ряд:

(2.2)

Подставляя обобщенный степенной ряд в уравнение (2.1) и приравнивая нулю коэффициенты при каждой степени в левой части уравнения, получим систему

Считая, что из данной системы находим Пусть Тогда из второго уравнения системы находим а из уравнения придавая значения 3,5,7,…, заключаем, что Для коэффициентов с четными номерами получаем выражения

Подставляя найденные коэффициенты в ряд (2.2), получим решение

где коэффициент остается произвольным.

При все коэффициенты аналогично определяются только в случае, когда не равно целому числу. Тогда решение можно получить, заменяя в предыдущем решении величину на :

Полученные степенные ряды сходятся для всех значений , что легко устанавливается на основании признака Даламбера. Решения и линейно независимы, так как их отношение не является постоянным.

Решение умноженное на постоянную называется функцией Бесселя (или цилиндрической функцией) порядка первого рода и обозначается символом Решение обозначают

В общепринятом выборе постоянной участвует гамма-функция которая определяется несобственным интегралом:

Следовательно, общее решение уравнения (2.1) при не равном целому числу, имеет вид где и - произвольные постоянные величины .

2.2 Примеры интегрирования

В тех случаях, когда для уравнения требуется решить задачу Коши при начальном условии решение можно искать с помощью ряда Тейлора:

где а дальнейшие производные находят последовательным дифференцированием исходного уравнения и подстановкой в результат дифференцирования вместо значений и всех остальных найденных последующих производных. Аналогично с помощью ряда Тейлора можно интегрировать и уравнения высших порядков .

Пример 2.1. Проинтегрировать приближенно с помощью ряда Тейлора уравнение взяв шесть первых членов разложения, отличных от нуля .

Из уравнения начальных условий находим Дифференцируя данное уравнение, последовательно получаем

Полагая и используя значения последовательно находим Искомое решение имеет вид

Пример 2.2. Найти четыре первых (отличных от нуля) члена разложения . и

Подставляя в ряд (2.3) найденные значения получаем искомое решение с указанной точностью:

2.3 Примеры интегрирования в Maple

Для нахождения аналитических решений дифференциальных уравнений в Maple применяется команда dsolve(eq,var,options), где eq - дифференциальное уравнение, var - неизвестные функции, options - параметры. Параметры могут указывать метод решения задачи, например, по умолчанию ищется аналитическое решение: type=exact. При составлении дифференциальных уравнений для обозначения производной применяется команда diff, например, дифференциальное уравнение записывается в виде: diff(y(x),x$2)+y(x)=x.

Чтобы найти приближенное решение дифференциального уравнения в виде степенного ряда, в команде dsolve следует после переменных указать параметр type=series (или просто series). Для того, чтобы указать порядок разложения , т.е. порядок степени, до которой производится разложение, следует перед командой dsolve вставить определение порядка с помощью команды Order:=n.

Если ищется общее решение дифференциального уравнения в виде разложения в степенной ряд, то коэффициенты при степенях найденного разложения будут содержать неизвестные значения функции в нуле и ее производных и т.д. Полученное в строке вывода выражение будет иметь вид, похожий на разложение искомого решения в ряд Маклорена, но с другими коэффициентами при степенях . Для выделения частного решения следует задать начальные условия и т.д., причем количество этих начальных условий должно совпадать с порядком соответствующего дифференциального уравнения.

Разложение в степенной ряд имеет тип series, поэтому для дальнейшей работы с этим рядом его следует преобразовать в полином с помощью команды convert(%,polynom), а затем выделить правую часть полученного выражения командой rhs(%) .

> cond:=y(0)=1, D(y)(0)=1, (D@@2)(y)(0)=1;

> dsolve({de,cond},y(x));

> y1:=rhs(%):

> dsolve({de,cond},y(x),series);

Замечание: тип решения дифференциального уравнения в виде ряда есть series, поэтому для дальнейшего использования такого решения (вычислений или построения графика) его обязательно следует конвертировать в полином с помощью команды convert.

дифференциальный уравнение ряд степень

> convert(%,polynom): y2:=rhs(%):

> p1:=plot(y1, x=-3..3, thickness=2, color=black):

> p2:=plot(y2, x=-3..3, linestyle=3, thickness=2, color=black):

> with(plots): display(p1,p2);

На рисунке 2 видно, что наилучшее приближение точного решения степенным рядом достигается примерно на интервале

Рисунок 2

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Цели, поставленные в курсовой работе, полностью достигнуты, решены следующие задачи:

Определены основные понятия, связанные с рядами и дифференциальными уравнениями.

Рассмотрен метод интегрирования дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.

Решены задачи по данной теме.

В данной курсовой работе изучен и систематизирован материал для применения его студентами во время самостоятельного изучения метода интегрирования дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов. Рассмотрены понятия ряда и дифференциальных уравнений. Проведены приближенные вычисления с помощью рядов.

Работа может быть использована в качестве учебно-методического пособия для студентов технических и математических специальностей.

Результаты работы могут служить основой для дальнейших исследований.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1 Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. Перевод с английского. - М.: Букинист, 2003. - 352 с.

Власова Б. А., Зарубин B. C., Кувыркин Г. Н. Приближенные методы математической физики: Учебник для вузов. - М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2001. - 700 с.

Будак Б. М. Фомин С. В. Кратные интегралы и ряды. - М.: Физматлит, 2002. - 512 с.

Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. - М.: Изд-во Моск. ун-та ЧеРо,2000. - 624 с.

Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И., и др. Вся высшая математика: Учебник. Т. 3. - М.: Изд-во Едиториал УРСС, 2005. - 240 с.

Яблонский А. И., Кузнецов А. В., Шилкина Е. И. и др. Высшая математика: Общий курс: Учебник. - М.: Высш. шк., 2000.- 351 с.

Малахов А. Н., Максюков Н. И., Никишкин В. А. Высшая математика. - М.: ЕАОИ, 2008. - 315 с.

Марков Л. Н., Размыслович Г. П. Высшая математика. Ч. 2. Основы математического анализа и элементы дифференциальных уравнений. - М.: Амалфея, 2003. - 352 с.

Агафонов С. А., Герман А. Д., Муратова Т. В. Дифференциальные уравнения. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. - 352 с.

Коддингтон Э. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Амалфея, 2001. - 475 с.

Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. - М.: Физматлит, 2001. - 810 с.

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Могилевский государственный университет имени А.А. Кулешова»

Кафедра МАиВТ

Построение решений дифференциальных уравнений с помощью рядов

Курсовая работа

Выполнил: студент Б группы 3 курса

физико-математического факультета

Юскаева Александра Маратовна

Научный руководитель:

Морозов Николай Порфирьевич

МОГИЛЕВ, 2010

Введение

1. Дифференциальные уравнения высших порядков

1.1. Понятие о линейном дифференциальном уравнении n-го порядка

2. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи рядов

2.1. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов.

2.2. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи обобщенных степенных рядов.

3. Частные случаи использования обобщенных степенных рядов при интегрирование дифференциальных уравнений.

3.1. Уравнение Бесселя.

3.2. Гипергеометрическое уравнение или уравнение Гаусса.

4. Применение метода интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений при помощи рядов на практике.

Заключение

Литература

Введение

В общем случае нахождение точного решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка его интегрированием невозможно. Тем более это неосуществимо для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Это обстоятельство привело к созданию большого числа приближенных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Среди приближенных методов можно выделить три группы: аналитические, графические и численные. Разумеется, подобная классификация в известной мере условна. Например, графический метод ломаных Эйлера лежит в основе одного из способов численного решения дифференциального уравнения.

Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов является приближенным аналитическим методом, применяемым, как правило, к линейным уравнениям не ниже второго порядка.

Аналитические методы встречаются в курсе дифференциальных уравнений. Для уравнений первого порядка (с разделяющимися переменными, однородных, линейных и др.), а также для некоторых типов уравнений высших порядков (например, линейных с постоянными коэффициентами) удается получить решения в виде формул путем аналитических преобразований.

Целью работы является анализ одного из приближенных аналитических методов, такого как интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений при помощи рядов, и применение их при решении дифференциальных уравнений.

Дифференциальные уравнения высших порядков

Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется соотношение вида

где F - известная функция своих аргументов, заданная в некоторой области;

x - независимая переменная;

y - функция переменной x, подлежащая определению;

y’, y”, …, y (n) - производные функции y.

При этом предполагается, что y (n) действительно входит в дифференциальное уравнение. Любой же из остальных аргументов функции F может в этом соотношении явно не участвовать.

Всякая функция, удовлетворяющая данному дифференциальному уравнению, называется его решением, или интегралом. Решить дифференциальное уравнение - это значит найти все его решения. Если для искомой функции y удается получить формулу, дающую все решения данного дифференциального уравнения и только их, то говорим, что нашли его общее решение, или общий интеграл.

Общее решение дифференциального уравнения n-го порядка содержит n произвольных постоянных с 1 , с 2 ,..., c n и имеет вид.

1.1. Понятие о линейном дифференциальном уравнении n -го порядка

Дифференциальное уравнение n-го порядка называется линейным, если оно первой степени относительно совокупности величин y, y’, …, y (n) . Таким образом, линейное дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид:

где - известные непрерывные функции от x.

Данное уравнение называется неоднородным линейным уравнением или уравнением с правой частью. Если же правая часть уравнения, тождественно равна нулю, то линейное уравнение называется однородным дифференциальным линейным уравнением и имеет вид

В случае если n будет равно 2, то получим линейное уравнение II-го порядка, которое запишется как Как и линейное уравнение n-го порядка уравнение второго порядка может быть однородным () и неоднородным.

Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи рядов.

Решения обыкновенного дифференциального уравнения выше первого порядка с переменными коэффициентами не всегда выражаются через элементарные функции, и интегрирование такого уравнения редко приводится к квадратурам.

2.1. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов.

Наиболее распространенным приемом интегрирования указанных уравнений является представление искомого решения в виде степенного ряда. Рассмотрим уравнения второго порядка с переменными коэффициентами

Замечание1. Достаточно широкий класс функций можно представить в виде

где, — некоторые постоянные. Это выражение называют степенным рядом. Если его значения равны соответствующим значениям функции для любого x из интервала (х 0 - Т; х 0 + Т), то такой ряд называют сходящимся в этом интервале.

Предположим, что функции a(х), b(х) являются аналитическими функциями уравнения (2.1) на интервале (х 0 - Т; х 0 + Т), Т > 0, т.е. разлагаются в степенные ряды:

Имеет место следующая теорема (опуская доказательство, приведем лишь ее формулировку).

Теорема_1. Если функции a(х), b(х) имеют вид (2.2), то любое решение y(х) обыкновенного дифференциального уравнения (2.1) представимо в виде сходящегося при |x - x 0 | < Т степенного ряда:

Эта теорема не только дает возможность представить решение в виде степенного ряда, но и, что самое главное, обосновывает сходимость ряда (2.3).

Алгоритм такого представления состоит в следующем. Для удобства положим в (2.2) и (2.3) x 0 = 0 и будем искать решение обыкновенного дифференциального уравнения (2.1) в виде

Подставив (2.4) в (2.1), получим равенство

Для выполнения (2.5) необходимо, чтобы коэффициент при каждой степени x был равен нулю. Из этого условия получаем бесконечную систему линейных алгебраических уравнений

………………………………………….

…………………………………………………………………. .

Из полученной бесконечной системы линейных алгебраических уравнений можно последовательно найти, …, если задать значения и (в случае задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения (2.1) можно ввести начальные условия = , =).

Если функции а(х), b(х) являются рациональными, т.е. , b , где — многочлены, то в окрестностях точек, в которых или, решение в виде степенного ряда может не существовать, а если и существует, то может расходиться всюду, за исключением точки x = 0. Это обстоятельство было известно еще Л. Эйлеру, который рассмотрел уравнение первого порядка

Этому уравнению удовлетворяет степенной ряд

Нетрудно, однако, видеть, что этот ряд расходится при любом. Решение обыкновенного дифференциального уравнения в виде расходящегося степенного ряда называют формальным.

Одним из наиболее ярких и понятных примеров на применение данного способа интегрирования является уравнения Эйри или

Все решения этого уравнения являются целыми функциями от x. Тогда решение уравнения Эйри будем искать в форме степенного ряда (2.4). Тогда равенство (2.5) принимает вид

Приравняем нулю коэффициент при каждой степени x. Имеем

……………………………

Коэффициент при нулевой степени x равен 2у 2 . Следовательно, у 2 = 0. Тогда из равенства нулю коэффициента находим = . Коэффициент при равен. Отсюда.

Из этой формулы получаем

Коэффициенты и остаются неопределенными. Для нахождения фундаментальной системы решений положим вначале = 1, = 0, а затем наоборот. В первом случае имеем

а во втором

На основании теоремы_1 эти ряды являются сходящимися всюду на числовой прямой.

Функции и называют функциями Эйри. При больших значениях x асимптотическое поведение этих функций описывают следующие формулы и.

Графики этих функций изображены на рис. 2.1. Получаем, что при неограниченном увеличении x нули всякого решения уравнения Эйри неограниченно сближаются, что видно и из асимптотического представления этих решений, но совсем не очевидно из представления функций Эйри в виде сходящихся степенных рядов. Отсюда следует, что способ поиска решения обыкновенного дифференциального уравнения при помощи ряда, вообще говоря, малопригоден при решении прикладных задач, а само представление решения в виде ряда затрудняет анализ качественных свойств полученного решения.

2.2. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи обобщенных степенных рядов.

Итак, если в уравнении (2.1) функции а(х), b(х) рациональные, то точки, в которых или, называются особыми точками уравнения (2.1).

Для уравнения второго порядка

в котором а(х), b(х) — аналитические функции в промежутке |х - x 0 | < а, точка х = 0 является особой точкой, лишь только один из коэффициентов а 0 или b 0 в разложении функций а(х) и b(х) в степенной ряд отличен от нуля. Это пример простейшей особой точки, так называемой регулярной особой точки (или особой точки первого рода).

В окрестности особой точки х = х 0 решения в виде степенного ряда может не существовать, в этом случае решения надо искать в виде обобщенного степенного ряда:

где λ и, …, () подлежат определению.

Теорема_2. Для того чтобы уравнение (2.6) имело в окрестности особой точки х = х 0 хоть одно частное решение в виде обобщенного степенного ряда (2.7), достаточно, чтобы это уравнение имело вид

Суть сходящиеся степенные ряды, причем коэффициенты не равны нулю одновременно, ибо в противном случае точка х = х 0 не особая точка и существует два линейно независимых решения, голоморфных в точке х = х 0 . При этом, если ряды (2.7”), входящие в коэффициенты уравнения (2.7’) сходятся в области | х - х 0 | < R, то и ряд, входящий в решение (2.7), заведомо сходится в той же области.

Рассмотрим уравнение (2.6) при х > 0. Подставив в это уравнение выражение (2.7) при х 0 = 0, имеем

Приравнивая нулю коэффициенты при степенях х, получаем рекуррентную систему уравнений:

……..........................……………………………………………. (2.8)

где обозначено

Так как, то λ должно удовлетворять уравнению

которое называется определяющим уравнением. Пусть - корни этого уравнения. Если разность не есть целое число, то ни при каком целом k > 0, а значит, указанным методом можно построить два линейно независимых решения уравнения (2.6):

Если же разность является целым числом, то указанным выше способом можно построить одно решение в виде обобщённого ряда. Зная это решение, с помощью формулы Лиувилля - Остроградского можно найти второе линейно независимое с решение:

Из этой же формулы вытекает, что решение можно искать в виде

(число А может оказаться равным нулю).

Частные случаи использования обобщенных степенных рядов при интегрирование дифференциальных уравнений.

3.1. Уравнение Бесселя.

Уравнению Бесселя является одним из важных в математике и ее приложениях дифференциальным уравнением. Решения уравнения Бесселя, составляющие его фундаментальную систему функций, не являются элементарными функциями. Но они разлагаются в степенные ряды, коэффициенты которых вычисляются довольно просто.

Рассмотрим уравнение Бесселя в общем виде:

К этому уравнению сводятся многие задачи математической физики.

Поскольку уравнение не изменяется при замене в нем x на -x, досточно рассмотреть неотрицательные значения x. Единственная особая точка x=0. Определяющее уравнение, соответствующее x=0, есть, . Если 0, то определяющее уравнение имеет два корня: и. Найдем решение данного уравнения в виде обобщенного степенного ряда

то, подставив у, у" и у" в исходное уравнение, получим

Отсюда, сокращая на, имеем

Чтобы это равенство выполнялось тождественно, коэффициенты должны удовлетворять уравнениям

Найдем решение, соответствующее корню определяющего уравнения λ = n. Подставив в последние равенства λ = n, видим, что в качестве можно взять любое число, отличное от нуля, число = 0, а для k = 2, 3, ... имеем

Отсюда при всех m = 0, 1, 2, … .

Таким образом, найдены все коэффициенты, а значит, решение уравнения (3.1) запишется в виде

Введем функцию

называемую гамма-функцией Эйлера. Учитывая, что и что для целых, а также выберем произвольную постоянную как то запишется в виде

называется функцией Бесселя первого рода n-го порядка.

Второе частное решение уравнения Бесселя, линейно независимое с ищем в виде

Уравнения для определения при имеют вид

Полагая, находим

По условию n не является целым числом, так что все коэффициенты с четными номерами однозначно выражаются через:

Таким образом,

Полагая представим у 2 (х) в виде

называется функцией Бесселя первого рода с отрицательным индексом.

Таким образом, если n не является целым числом, то все решения исходного уравнения Бесселя являются линейными комбинациями функции Бесселя и: .

3.2. Гипергеометрическое уравнение или уравнение Гаусса.

Гипергеометрическим уравнением (или уравнением Гаусса) называется уравнение вида

где α, β, γ — действительные числа.

Точки являются особыми точками уравнения. Обе они регулярные, так как в окрестности этих точек коэффициенты уравнения Гаусса, записанного в нормальной форме

можно представить в виде обобщенного степенного ряда.

Убедимся в этом для точки. Действительно, замечая, что

уравнение (3.2) можно записать в виде

Это уравнение является частным случаем уравнения

причем здесь, так что точка х=0 есть регулярная особая точка уравнения Гаусса.

Построим фундаментальную систему решений уравнения Гаусса в окрестности особой точки х=0.

Определяющее уравнение, соответствующее точке х=0, имеет вид

Его корни, причем их разность не является целым числом.

Поэтому в окрестностях особой точки х=0 можно построить фундаментальную систему решений в виде обобщенных степенных рядов

первый из которых соответствует нулевому корню определяющего уравнения и является обычным степенным рядом, так что решение голоморфно в окрестности особой точки х=0. Второе решение заведомо неголоморфно в точке х=0. Построим сначала частное решение, соответствующее нулевому корню определяющего уравнения.

Итак, будем искать частное решение уравнения (3.2) в виде

Подставим (3.3) в (3.2), получим

Приравнивая к нулю свободный член, получаем.

Пусть, тогда получаем.

Приравнивая нулю коэффициент при, найдем:

Следовательно, искомое частное решение имеет вид:

Ряд справа называется гипергеометрическим рядом, так как при α=1, β=γ он превращается в геометрическую прогрессию

Согласно теореме_2 ряд (3.4) сходится при |x|<1, так же как и ряд (3.5), и, следовательно, представляет в этом интервале решение уравнения (3.2).

Второе частное решение имеет вид:

Вместо того, чтобы находить методом неопределенных коэффициентов, сделаем в уравнении Гаусса замену искомой функции по формуле

Получим уравнение Гаусса

в котором роль параметров α, β и γ играют и.

Поэтому, построив частное решение этого уравнения, соответствующее нулевому корню определяющего уравнения и подставив его в (3.6), получим второе частное решение данного уравнения Гаусса в виде:

Общим решением уравнения Гаусса (3.2) будет:

Пользуясь построенной фундаментальной системой решений уравнения Гаусса в окрестности особой точки х=0, можно легко построить фундаментальную систему решений этого уравнения и в окрестности особой точки х=1, которая тоже является регулярной особой точкой.

С этой целью переведем интересующую нас особую точку х = 1 в точку t = 0 и вместе с ней особую точку x = 0 в точку t = 1 при помощи линейной замены независимой переменной x = 1 - t.

Выполняя эту подстановку в данном уравнении Гаусса, получим

Это — уравнение Гаусса с параметрами. Оно имеет в окрестности |t|<1 особой точки t = 0 фундаментальную систему решений

Возвращаясь к переменной х, т. е. полагая t = 1 - х, получим фундаментальную систему решений исходного уравнения Гаусса в окрестности точки | х - 1| < 1 особой точки х = 1

Общим решением уравнения Гаусса (3.2) в области будет

Применение метода интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений при помощи рядов на практике.

Пример_1. (№691) Вычислить несколько первых коэффициентов ряда (до коэффициента при х 4 включительно) с начальными условиями

Из начальных условий следует, что Теперь найдем остальные коэффициенты:

Пример_2. (№696) Вычислить несколько первых коэффициентов ряда (до коэффициента при х 4 включительно) с начальными условиями

Решение: Решение уравнения будем искать в виде

Подставляем полученные выражения в исходное уравнение:

Представляя правую часть в виде степенного ряда и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях уравнения, получаем:

Так как по условию необходимо вычислить коэффициенты ряда до коэффициента при х 4 включительно, то достаточно вычислить коэффициенты.

Из начальных условий следует, что и 2. Теперь найдем остальные коэффициенты:

Следовательно, решение уравнения запишется в виде

Пример_3. (№700) Найти линейно независимые решения в виде степенных рядов уравнения. По возможности сумму полученного ряда выразить с помощью элементарных функций.

Решение. Решение уравнения будем искать в виде ряда

Дважды продифференцировав этот ряд и подставив в данное уравнение, имеем

Выпишем несколько первых членов рядов в полученном уравнении:

Приравняв нулю коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему уравнений для определения:

………………………………….

Из этих уравнений находим

Положим, тогда отличными от нуля будут только коэффициенты. Получаем, что

Построено одно решение уравнения

Второе решение, линейно независимое с найденным, получим, предположив. Тогда отличными от нуля будут только коэффициенты:

Ряды, представляющие и, сходятся при любых значениях х и являются аналитическими функциями. Таким образом, все решения исходного уравнения — аналитические функции при всех значениях х. Все решения выражаются формулой, где С 1 , С 2 — произвольные постоянные:

Так как сумму полученного ряда легко выразить с помощью элементарных функций, то и запишется как:

Пример_4. (№711) Решить уравнение 2х 2 у" + (3х - 2х 2)у" - (х + 1)у = 0.

Решение. Точка х = 0 является регулярной особой точкой данного уравнения. Составляем определяющее уравнение: Его корни λ 1 = 1/2 и λ 2 = - 1. Решение исходного уравнения, соответствующее корню λ = λ 1 ищем в виде

Подставив, и в исходное уравнение, имеем

Отсюда, сократив на, получим

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, имеем уравнения для определения:

Положив y 0 = 1, находим

Таким образом,

Соответствующее корню λ = λ 2 решение исходного уравнения ищем в виде

Подставив это выражение в исходное уравнение и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, получим или Положив y 0 = 1, находим

Общее решение исходного уравнения запишем в виде, где и - произвольные постоянные.

Заключение

Решение уравнения, содержащие неизвестные функции и их производные в степени выше первой или каким-либо более сложным образом, зачастую очень сложно.

В последние годы такие дифференциальные уравнения привлекают все большее внимание. Так как решения уравнений зачастую очень сложны и их трудно представить простыми формулами, значительная часть современной теории посвящена качественному анализу их поведения, т.е. разработке методов, позволяющих, не решая уравнения, сказать нечто существенное о характере решений в целом: например, что все они ограниченны, или имеют периодический характер, или определенным образом зависят от коэффициентов.

В ходе выполнения курсовой работы был проведен анализ метода интегрирования дифференциальных уравнений с помощью степенных и обобщенных степенных рядов.

Литература:

Матвеев Н.В. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд. 4-е, испр. и доп. Минск, “Вышэйш. школа”, 1974. - 768с. с ил.
Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т.В. Дифференциальные уравнения: Учеб. для вузов / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. - 3-е изд, стереотип. -М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. - 352 с.
Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. Т.3: Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного: Учеб. для вузов: В 3 т. / Я. С. Бугров, С. М. Никольский; Под ред. В. А. Садовничего. — 6-е изд., стереотип. — М.: Дрофа, 2004. —— 512с.: ил.
Самолейнко А. М., Кривошея С. А., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. Учеб. пособие. - 2-е изд., перераб. - М.: Высш. шк., 1989. - 383 с.: ил.
Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Учеб. пособие для вузов. - М.: Физматизд, 1961. - 100 с.: ил.

Скачать: У вас нет доступа к скачиванию файлов с нашего сервера.

С помощью степенных рядов возможно интегрировать дифференциальные уравнения.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида:

Если все коэффициенты и правая часть этого уравнения разлагаются в сходящиеся в некотором интервале степенные ряды, то существует решение этого уравнения в некоторой малой окрестности нулевой точки, удовлетворяющее начальным условиям.

Это решение можно представить степенным рядом:

Для нахождения решения остается определить неизвестные постоянные c i .

Эта задача решается методом сравнения неопределенных коэффициентов . Записанное выражение для искомой функции подставляем в исходное дифференциальное уравнение, выполняя при этом все необходимые действия со степенными рядами (дифференцирование, сложение, вычитание, умножение и пр.)

Затем приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях уравнения. В результате с учетом начальных условий получим систему уравнений, из которой последовательно определяем коэффициенты c i .

Отметим, что этот метод применим и к нелинейным дифференциальным уравнениям.

Пример. Найти решение уравнения
c начальными условиями y (0)=1, y ’(0)=0.

Решение уравнения будем искать в виде

Подставляем полученные выражения в исходное уравнение:

Отсюда получаем:

………………

Получаем, подставив начальные условия в выражения для искомой функции и ее первой производной:

Окончательно получим:

Итого:

Существует и другой метод решения дифференциальных уравнений с помощью рядов. Он носит название метод последовательного дифференцирования .

Рассмотрим тот же пример. Решение дифференциального уравнения будем искать в виде разложения неизвестной функции в ряд Маклорена.

Если заданные начальные условия y (0)=1, y ’(0)=0 подставить в исходное дифференциальное уравнение, получим, что

Далее запишем дифференциальное уравнение в виде
и будем последовательно дифференцировать его по х .

После подстановки полученных значений получаем:

Критерий Коши.

(необходимые и достат очные условия сходимости ряда)

Для того, чтобы последовательность
была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для любого
существовал такой номер N , что при n > N и любом p > 0, где р – целое число, выполнялось бы неравенство:

Доказательство . (необходимость)

Пусть
, тогда для любого числа
найдется номер N такой, что неравенство

выполняется при n>N. При n>N и любом целом p>0 выполняется также неравенство
. Учитывая оба неравенства, получаем:

Необходимость доказана. Доказательство достаточности рассматривать не будем.

Сформулируем критерий Коши для ряда.

Для того, чтобы ряд
был сходящимся необходимо и достаточно, чтобы для любого
существовал номер N такой, что при n > N и любом p >0 выполнялось бы неравенство

Однако, на практике использовать непосредственно критерий Коши не очень удобно. Поэтому как правило используются более простые признаки сходимости:

Следствие. Если f (x ) и  (х) – непрерывные функции на интервале (a, b] и
то интегралы
и
ведут себя одинаково в смысле сходимости.

степенных рядов.

С помощью степенных рядов возможно интегрировать дифференциальные уравнения.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида:

Это решение можно представить степенным рядом:

Для нахождения решения остается определить неизвестные постоянные c i .

Эта задача решается методом сравнения неопределенных коэффициентов . Записанное выражение для искомой функции подставляем в исходное дифференциальное уравнение, выполняя при этом все необходимые действия со степенными рядами (дифференцирование, сложение, вычитание, умножение и пр.)

Отметим, что этот метод применим и к нелинейным дифференциальным уравнениям.

Пример. Найти решение уравнения c начальными условиями y(0)=1, y’(0)=0.

Решение уравнения будем искать в виде

Подставляем полученные выражения в исходное уравнение:

Отсюда получаем:

………………

Получаем, подставив начальные условия в выражения для искомой функции и ее первой производной:

Окончательно получим:

Существует и другой метод решения дифференциальных уравнений с помощью рядов. Он носит название метод последовательного дифференцирования.

Если заданные начальные условия y(0)=1, y’(0)=0 подставить в исходное дифференциальное уравнение, получим, что

После подстановки полученных значений получаем:

Ряды Фурье.

(Жан Батист Жозеф Фурье (1768 – 1830) – французский математик)

Тригонометрический ряд.

Определение. Тригонометрическим рядом называется ряд вида:

или, короче,

Действительные числа a i , b i называются коэффициентами тригонометрического ряда.

Если ряд представленного выше типа сходится, то его сумма представляет собой периодическую функцию с периодом 2p, т.к. функции sinnx и cosnx также периодические функции с периодом 2p.

Пусть тригонометрический ряд равномерно сходится на отрезке [-p; p], а следовательно, и на любом отрезке в силу периодичности, и его сумма равна f(x) .

Определим коэффициенты этого ряда.

Для решения этой задачи воспользуемся следующими равенствами:

Справедливость этих равенств вытекает из применения к подынтегральному выражению тригонометрических формул. Подробнее см. Интегрирование тригонометрических функций.

Т.к. функция f(x) непрерывна на отрезке [-p; p], то существует интеграл

Такой результат получается в результате того, что .

Отсюда получаем:

Аналогично умножаем выражение разложения функции в ряд на sinnx и интегрируем в пределах от -p до p.

Получаем:

Выражение для коэффициента а 0 является частным случаем для выражения коэффициентов a n .

Таким образом, если функция f(x) – любая периодическая функция периода 2p, непрерывная на отрезке [-p; p] или имеющая на этом отрезке конечное число точек разрыва первого рода, то коэффициенты

существуют и называются коэффициентами Фурье для функции f(x).

Определение. Рядом Фурье для функции f(x) называется тригонометрический ряд, коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье. Если ряд Фурье функции f(x) сходится к ней во всех ее точках непрерывности, то говорят, что функция f(x) разлагается в ряд Фурье.

Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье.

Теорема. (Теорема Дирихле) Если функция f(x) имеет период 2p и на отрезке

[-p;p] непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, и отрезок

[-p;p] можно разбить на конечное число отрезков так, что внутри каждого из них функция f(x) монотонна, то ряд Фурье для функции f(x) сходится при всех значениях х, причем в точках непрерывности функции f(x) его сумма равна f(x), а в точках разрыва его сумма равна , т.е. среднему арифметическому предельных значений слева и справа. При этом ряд Фурье функции f(x) сходится равномерно на любом отрезке, который принадлежит интервалу непрерывности функции f(x).

Функция f(x), для которой выполняются условия теоремы Дирихле называется кусочно – монотонной на отрезке [-p;p].

Теорема. Если функция f(x) имеет период 2p, кроме того, f(x) и ее производная f’(x) – непрерывные функции на отрезке [-p;p] или имеют конечное число точек разрыва первого рода на этом отрезке, то ряд Фурье функции f(x) сходится при всех значениях х, причем в точках непрерывности его сумма равна f(x), а в точках разрыва она равна . При этом ряд Фурье функции f(x) сходится равномерно на любом отрезке, который принадлежит интервалу непрерывности функции f(x).

Функция, удовлетворяющая условиям этой теоремы, называется кусочно – гладкой на отрезке [-p;p].

Разложение в ряд Фурье непериодической функции.

Задача разложения непериодической функции в ряд Фурье в принципе не отличается от разложения в ряд Фурье периодической функции.

Допустим, функция f(x) задана на отрезке и является на этом отрезке кусочно – монотонной. Рассмотрим произвольную периодическую кусочно – монотонную функцию f 1 (x) c периодом 2Т ³ ïb-aï , совпадающую с функцией f(x) на отрезке .

a - 2T a a b a+2T a + 4T x

Таким образом, функция f(x) была дополнена. Теперь функция f 1 (x) разлагается в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка совпадает с функцией f(x), т.е. можно считать, что функция f(x) разложена в ряд Фурье на отрезке .

Таким образом, если функция f(x) задана на отрезке, равном 2p ничем не отличается от разложения в ряд периодической функции. Если же отрезок, на котором задана функция, меньше, чем 2p, то функция продолжается на интервал (b, a + 2p) так, что условия разложимости в ряд Фурье сохранялись.

Вообще говоря, в этом случае продолжение заданной функции на отрезок (интервал) длиной 2p может быть произведено бесконечным количеством способов, поэтому суммы получившихся рядов будут различны, но они будут совпадать с заданной функцией f(x) на отрезке .

Ряд Фурье для четных и нечетных функций.

Отметим следующие свойства четных и нечетных функций:

2) Произведение двух четных и нечетных функций является четной функцией.

3) Произведение четной и нечетной функций – нечетная функция.

Справедливость этих свойств может быть легко доказана исходя из определения четности и нечетности функций.

Если f(x) – четная периодическая функция с периодом 2p, удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье, то можно записать:

Таким образом, для четной функции ряд Фурье записывается:

Аналогично получаем разложение в ряд Фурье для нечетной функции:

Пример. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом T = 2p на отрезке [-p;p].

Заданная функция является нечетной, следовательно, коэффициенты Фурье ищем в виде:

Определение. Рядом Фурье по ортогональной системе функций j 1 (x), j 2 (x), …,jn(x) называется ряд вида:

коэффициенты которого определяются по формуле:

где f(x) = - сумма равномерно сходящегося на отрезке ряда по ортогональной системе функций. f(x) – любая функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на отрезке .

В случае ортонормированной системы функций коэффициенты определяются:

При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики ” возможно запустить программу, которая разлагает в ряд Фурье произвольную функцию.