Практическая работа "объемы многогранников". Практическая работа "объемы многогранников" Проект объем многогранника для колледжа

Класс: 11

Цели:

• повторить виды многогранников, их элементы и формулы объемов; показать практическую направленность изучаемой темы;
• развивать у учащихся практические навыки;
• прививать интерес к предмету.

Оборудование:

• набор всех видов многогранников;
• рисунки многоугольников на доске;
• плакат с изображением любого современного здания;
• проектор.

I. Эвристическая беседа

(повторение теоретического материала по теме)

1. Назовите и запишите формулы объемов призмы, параллелепипеда, пирамиды, усеченной пирамиды.
(Vпризмы = Sосн.· h,Vпарал. = abc или Vпарал. = Sосн.· h, Vпирам. = Sосн.· h, V =

2. Какие величины повторяются во всех перечисленных формулах? (Высота)
3. Покажите высоту на прямой и наклонной призмах.
4. Можно ли параллелепипед назвать призмой? А куб? (Да, это частные случаи призмы)
5. Покажите высоту на прямой и наклонной пирамиде.
6. Какие фигуры могут быть в основании призмы и пирамиды? (Треугольник, квадрат, ромб, прямоугольник, параллелограмм, трапеция и др. плоские фигуры)
7. Может ли в основании параллелепипеда быть трапеция? (Нет, потому, что параллелепипед – это призма в основании которой – параллелограмм)
8. Рассмотрите многоугольники, представленные на доске. Эти многоугольники могут лежать в основании рассмотренных нами многогранников.

На карточках формулы с вычислениями площадей многоугольников (Приложение 1 ).Соотнесите эти формулы с фигурами, изображенными на доске; скажите по какой формуле, вычисляется площадь каждой из этих фигур?
9. Какая из этих формул подходит для вычисления площади пола комнаты? (а . b или a 2)

II. Решение задач с практическим содержанием

Первый вариант: «Служба экспертов санэпидемстанции»

(выбирается «старший эксперт», который излагает содержание задачи и делает заключение по итогам решения).

Решение:

V = аbс или V = Sосн.· h
V = 8,5 · 6 · 3,6 = 183,6(м 3)
183,6: 30 = 6,12(м 3) воздуха приходится на одного учащегося.

Заключение эксперта:

Да, в кабинете можно заниматься 30 учащимся.

Второй вариант: «Служба метеорологов»

(выбирается «старший метеоролог», который излагает содержание задачи и делает заключение по итогам решения)

Решение:

Клумба представляет собой геометрическую фигуру – прямую треугольную призму, где h = 20мм, тогда V = Sосн. · h

1) Sосн. =
2) h = 20 мм , 1 м = 1000 мм , 1мм = 0,001 м , тогда h = 0,02м
3) V = 15,3 · 0,02 = 0,306(м 3) = 306(дм 3)
4) 1 дм 3 = 1 л (воды), тогда 306 дм 3 = 306 литров воды

Заключение «старшего метеоролога»:

За сутки на клумбу выпало 306 литров осадков.

III. Решение задач на развитие глазомера

Часто приходится ставить вопрос: много это или мало? Чтобы научиться отвечать на подобные вопросы, надо постоянно развивать свой глазомер. Сейчас каждый из вас получит возможность проверить качество своего глазомера.

1) Как вы считаете, сколько см 3 одеколона или лосьона входит в этот флакон? (Учитель показывает учащимся флакон формы усеченной пирамиды или прямоугольного параллелепипеда).

Пока учащиеся высказывают свои предположения, один из них выходит к доске, делает соответствующие измерения и вычисляет правильный результат. Учащиеся соотносят свои предположения с этим результатом, проверяя тем самым качество своего глазомера.

2) Сколько м 3 воздуха в нашем кабинете? (Учитель сам сообщает параметры) .

IV. «Тайм-аут» на развитие пространственного воображения

1. Выставляется планшет с рисунком здания.

Вопрос: Из каких геометрических фигур состоит это здание?
Ответ: Прямоугольный параллелепипед, правильная четырехугольная пирамида и так далее.

2. Какие геометрические фигуры встречаются на вашем рабочем месте?

V. Лабораторно-практическая работа

У каждого на столе модель многогранника.

Задание: Сделайте необходимые измерения, вычислите на листочке объем данной фигуры.

(Предварительно записать на листочке номер фигуры и ее название).

VI. Разгадывание кроссворда

Учащиеся, которые раньше других справились с лабораторно-практической работой, предлагается разгадать кроссворд «Многогранники».

1. Параллельные грани призмы (основание) ;
2. Один из многогранников (пирамида) ;
3. Перпендикуляр между основаниями призмы (высота) ;
4. Плоскость, пересекающая многогранник (сечение) ;
5. Единица измерения (метр) .

VII. Домашнее задание

VIII. Итоги урока

Слайд 2

Многогранник

Многогранник– это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.

Слайд 3

Многогранник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от любой плоскости, содержащей его грань. Многогранник называется невыпуклым, если существует такая грань, что многогранник оказывается по обе стороны от плоскости, содержащей эту грань.

Слайд 4

Что такое в житейском смысле объем тела, в частности многогранника? Это то, сколько жидкости может быть налито внутрь этого многогранника. Отрежем вершинки и нальем внутрь каждого многогранника воду. Выпуклый многогранник уже наполнился, а невыпуклый - еще нет. Но возможно вода наливалась с разной скоростью: чтобы правильно сравнить объемы, выльем жидкость из каждого многогранника в одинаковые стаканы. Уровень воды в правом стакане выше, чем в левом, значит объем невыпуклого многогранника действительно больше объема выпуклого.

Слайд 5

Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении задач на нахождение кубатур (вычисление объемов) тел связаны с применением метода исчерпывания, предположенным Евдоксом Книдским (около 408-355 до нашей эры). Известна формула, которая дает возможность найти объем многогранника, если известны лишь длины его ребер. Объем произвольного многогранника можно вычислить, зная лишь длины его ребер. Однако многогранник должен быть специального вида.

Слайд 6

В общем случае можно показать, что обобщённые объёмы многогранников - корни полиномиальных уравнений с коэффициентами, которые не зависят от расположения вершин многогранника в пространстве, а представляют собой многочлены от квадратов длин его рёбер. Числовые коэффициенты этих многочленов определяются комбинаторным строением многогранника.

Слайд 7

Объем пирамидыТеорема.Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Слайд 8

Объем многогранника

Объем многогранника равен сумме объемов пирамид, имеющих своими основаниями грани многогранника, а вершиной – центр сферы. Так как все пирамиды имеют одну и ту же высоту, равную радиусу R сферы, то объем многогранника.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования

«УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Барышский колледж - филиал

Ульяновского государственного технического университета

по выполнению практических работ

по дисциплине

« Математика: алгебра и начала анализа, геометрия »

для студентов спец. 09.02.03 Программирование в компьютерных системах, 38.02.01 Экономика и бухгалтерский учёт (по отраслям)

2018

Рассмотрены и одобрены

цикловой методической комиссией

дисциплин общего естественного и общепрофессионального цикла

Председатель _______ Н.А.Золина

Утверждаю

Зам. директора по учебной работе

И.И.Шмелькова

Преподаватель Барышского колледжа – филиала УлГТУ Д.А. Советкин

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Цель проведения практических занятий – закрепление и углубление теоретических знаний по дисциплине, а также приобретение студентами практических навыков.

Перед выполнением каждого практического занятия студент обязан по материалам литературы, указанной в задании, повторить пройденный материал, относящийся к теме практического занятия. Проверка готовности студентов проводится путём опроса.

При выполнении работ следует предоставить студентам самостоятельность, всячески поощрять их творческое отношение к работе.

По окончании занятия студенты оформляют отчёт, в котором должен быть освящён материал по выполнению практического занятия в последовательности, указанной в задании.

Оформив отчёт, студент получает зачёт по выполненной работе.

Правила выполнения практических работ:

При выполнении работ студент должен самостоятельно изучить методические рекомендации по проведению конкретной работы; выполнить соответствующие расчеты; пользоваться справочной и технической литературой; подготовить ответы на контрольные вопросы. Изучая теоретическое обоснование, студент должен иметь в виду, что основной целью изучения теории является умение применить ее на практике для решения практических задач.

После выполнения работы студент должен представить отчет о проделанной работе с полученными результатами и выводами и устно ее защитить. Отчеты по практическим работам выполняются на листах формата А4. Первая страница оформляется согласно правилам оформления титульных листов. Необходимо оставлять поля шириной 25-30 мм для замечаний преподавателя. Все схемы и рисунки, сопровождающие выполнение практических работ, выполняются карандашом в соответствии с требованиями ГОСТ.

Неаккуратное выполнение практической работы, несоблюдение принятых правил и плохое оформление чертежей, графиков или схем могут послужить причиной возвращения работы для доработки.

Отчет должен содержать:

наименование работы;

цель работы;

• последовательность выполнения работы;

  ответы на контрольные вопросы;

  вывод о проделанной работе.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

Тема « Объемы и площади поверхности многогранников и тел вращения »

Цель: закрепить знания и умения нахождения объемов и площадей поверхности многогранников и тел вращения.

Время – 2 часа.

Методические указания

Перед выполнением практической работы необходимо выполнить индивидуальный проект – изготовить многогранник или тело вращения по заданию преподавателя.

Перечень призм

1.Фигура - параллелепипед.

Необходимые измерения: линейкой измерить длину, ширину, высоту.

По данным измерениям найти:

диагональ параллелепипеда

площадь боковой поверхности

площадь полной поверхности

объем фигуры.

2. Фигура – прямая треугольная призма ABCA 1 B 1 C 1 .

По данным измерениям найти:

площадь боковой поверхности

площадь полной поверхности

объем фигуры

площадь сечения, проведенного через боковое ребро AA 1 и середину ребра основания BC

3. Фигура – куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1.

Необходимые измерения: линейкой измерить все ребра.

По данным измерениям найти:

диагонали призмы

площадь боковой поверхности

площадь полной поверхности

объем фигуры

Контрольные вопросы:

Определение многогранника

Определение призмы

Виды призм, их определения

Элементы призмы

Определение параллелепипеда, его виды и элементы

Виды сечений призмы

Объем параллелепипеда и призмы

Перечень пирамид

Фигура – тетраэдр.

Необходимые измерения: линейкой измерить все ребра.

По данным измерениям найти:

высоту пирамиды

площадь боковой поверхности

площадь полной поверхности

объем фигуры

площадь сечения, проходящего через боковое ребро и апофему противолежащей грани

Фигура – четырехугольная пирамида.

Необходимые измерения: линейкой измерить все ребра.

По данным измерениям найти:

площадь боковой поверхности

площадь полной поверхности

объем фигуры

площадь сечения, проходящего через диагональ основания и боковое ребро

угол между боковой гранью и плоскостью основания.

Фигура – усеченная треугольная пирамида.

Необходимые измерения: линейкой измерить все ребра.

По данным измерениям найти:

площадь боковой поверхности

площадь полной поверхности

объем фигуры

площадь сечения, проходящего через высоту основания и боковое ребро.

Фигура – усеченная четырехугольная пирамида.

Необходимые измерения: линейкой измерить.

По данным измерениям найти:

площадь боковой поверхности

площадь полной поверхности

объем фигуры

площадь сечения, проходящего через два противоположных боковых ребра.

Контрольные вопросы:

Определение пирамиды, усеченной пирамиды

Виды пирамид, их определения

Элементы пирамиды

Виды сечений

Объем пирамиды

Перечень тел вращения

1. Цилиндр

Необходимые измерения: линейкой измерить диаметр и высоту цилиндра.

По данным измерениям найти:

площадь боковой поверхности

площадь полной поверхности

объем фигуры

найти площадь сечения, проведенного параллельно оси цилиндра на расстоянии L (задать каждому студенту индивидуально) от нее.

Вопросы:

Определение цилиндра

Дать определение прямого и равностороннего цилиндра

Элементы цилиндра

Виды сечений

Объем цилиндра

2. Конус

Необходимые измерения: линейкой измерить образующую и диаметр основания.

По данным измерениям найти:

площадь боковой поверхности

площадь полной поверхности

объем фигуры

площадь осевого сечения

угол наклона образующей к плоскости основания.

Вопросы:

Определение конуса, усеченного конуса

Элементы конуса

Виды сечений

Площадь и объем конуса, усеченного конуса

3. Шар и сфера

Необходимые измерения: измерить длину диаметральной окружности.

По данным измерениям найти:

радиус фигуры

площадь поверхности сферы

объем шара

найти площадь сечения шара или сферы плоскостью, проведенной на расстоянии X (задать каждому студенту индивидуально) от центра.

Вопросы:

Определение шара, сферы

Виды сечений шара и сферы

Уравнение сферы

Определение плоскости, касательной к шару

Определение шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора

Задание:

1. По фигуре сделать необходимые измерения

2. По данным измерения выполнить необходимые расчеты

3. Оформить задачу в тетрадях

4. Ответить на теоретические вопросы.

Требования по оформлению: нарисовать рисунок фигуры, записать дано, записать что необходимо найти, полное решение и ответ.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Дадаян А.А. Сборник задач по математике: учеб. пособие / А.А. Дадаян. – М.:ФОРУМ: ИНФРА-М, 2014. – 352с.

2. Дадаян А.А. Математика: учебник. /А.А. Дадаян. – 2-е изд. – М.: ФОРУМ, 2014. -544 с. _

3. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике, - М.: Наука, 2011. – 370с.

4. Алгебра и начала анализа. Математика для техникумов в 2 ч. Под ред. Г.Н. Яковлева. – М.: Наука, 2015. -1002с.

5. Геометрия: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2013. – 207 с.

6. Алимов Ш. А. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни).10-11 классы. - М., 2014.

Проект по геометрии в 11 классе учителя математики Наконечной О.А. на тему «Объемы и поверхности многогранников»

План урока

1. Тема урока: «Объемы и поверхности многогранников»
2. Комплексная цель урока.

1. Познавательная – обобщить и систематизировать знания, умения и навыки учащихся, полученные в процессе изучения темы «Площади поверхности многогранников. Объемы многогранников». Научить применять теоретические знания при решении задач практической направленности.
2. Развивающая – развивать логическое мышление учащихся, практические умения и навыки при решении задач; развивать пространственное воображение, речь учащихся; развивать навыки решения задач практического характера.
3. Воспитательная – воспитывать:

Интерес к предмету,

Навыки контроля и самоконтроля,

Доброжелательное отношение к своим одноклассникам,

Чувство ответственности,

Способность к самовыражению,

Культуру речи,

Сознательное отношение к учебе,

Деловые качества учащихся.

1. Задачи урока:

1. Повторить формулы площадей поверхности многогранников и объемов многогранников.
2. Составить опорный конспект-таблицу расчета формул площадей и объемов многогранников.
3. Отработать примеры решения задач, с использованием этих формул при тестировании.
4. Закрепить умение использовать формулы при решении задач практического содержания.
5. Тип урока – урок обобщения и систематизации знаний.
6. Формы организации учебного занятия:

Просмотр презентации и повторение пройденного материала,

Беседа и составление опорной таблицы по вопросам учителя (фронтальная работа);

Тестирование;

Групповая работа с разноуровневыми задачами практического характера по теме;

Подведение итогов групповой работы с использованием элементов взаимоконтроля;

Подведение итогов урока.

1. Средства обучения:

–компьютерный класс,

Мультимедийные презентации «Объемы и поверхности многогранников», «Что нам стоит дом построить?»,

Тестовая система LOCAL,

Тест по теме «Объемы и площади поверхности многогранников»,

Мультимедийный диапроектор.

Х О Д У Р О К А.

Тема нашего урока «Объемы и площади поверхности многогранников». (1 слайд включить!) Цель урока – обобщить и систематизировать знания по данной теме и научиться применять их при решении задач практического содержания. Проверим готовность к уроку. У вас на столах лежат заготовки опорной таблицы, карточка с домашним заданием, ручка, черновик.

Сначала нам необходимо вспомнить все виды многогранников и повторить формулы для вычисления площади поверхности и объема каждого из них.

(Показ слайдов №2-№10 с комментированием и опросом учащихся.)

Знания по темам: «Площади поверхности многогранников» и «Объемы многогранников» одни из важнейших в изучении геометрии школьного курса, но, самое интересное, что они могут пригодиться вам в различных жизненных ситуациях.

Помните фразу: «Что нам стоит дом построить?» Да- да: « Нарисуем- будем жить!» По глазам вижу, что кто-то из вас мечтает построить 3-х этажный особняк с тренажерным залом, кто-то мечтает о симпатичном загородном домике с зимним садом, а кто-то…спросит: «причем же тут геометрия?» Вот причем: сегодня на уроке мы поучимся делать расчеты необходимых затрат на строительство дома, дачи или другого сооружения, используя знания данных формул.

Слайд №11

Перед вами поселок «Мечты 11 «А». Дом в центре поселка -проектный вариант. Наша задача: Просчитать стоимость строительства данного дома из различных материалов:

• из железа и бетона;
• из шифера и кирпича;
• из черепицы, бетона и кирпича.

1 бригада (это 1 ряд) – обсчитывает дом из железа и бетона. Работают за компьютерами №№ (презентация 1)

2 бригада (2 ряд)- вы работаете над домом из шифера и кирпича за компьютерами №№ (презентация2)

3 бригада (3ряд)– вам достался дом из черепицы, бетона и кирпича. Компьютеры №№.(презентация3)

Для экономии времени разделим дом на составные части: 1 этаж – какая фигура? – прямоугольный параллелепипед, его считают за компьютерами №№______; 2 этаж - ? - прямоугольный параллелепипед, компьютеры №№______; крыша - ? - четырехугольная пирамида, компьютеры №№______. Ответственной работой займутся эксперты – экономисты – их задача по результатам работы групп, оценить стоимость материала для строительства коробки дома. Предварительно им необходимо: пройти тестирование, получить лист экспертов, помочь в расчетах своей бригаде и объявить результаты общей работы.

В роли экспертов выступают:____________________ , ваши рабочие места - компьютеры №№______ .Занимаем свои рабочие места. С собой возьмите ручку, листок для вычислений и опорную таблицу.

(Учитель проходит, раздает задания и распределяет учащихся за компьютеры, каждая парта работает над расчетом необходимого материала для строительства одной из частей дома).

Групповая работа

1 группа

Сколько примерно листов железа размером 2х0,8 м (шифера размером 1,5х1) (черепицы, размером 0,4х0,4) необходимо для покрытия крыши? Чему равны затраты на его приобретение?

2 группа

Сколько кубометров бетона (кирпича размером 12х10х30см) необходимо залить, чтобы получить стены 1 этажа. Толщина стен 50см. Размер оконного проема 1,5х1,2м, дверного – 2х1,7м.

3 группа

Сколько штук кирпича (кубометров бетона)необходимо, чтобы сложить стены 2 этажа. Толщина стен 50см. Размер оконного проема 1,5х1,2м, маленького – 1х0,8м. Размеры кирпича 12х30х10см.

Подведение итогов.

Заканчиваем работу. Кто от экспертов готов познакомить нас с результатами расчетов? Так ЧТО ЖЕ СТОИТ дом построить? Дом из бетона и железа -? Дом из кирпича и шифера - ? Дом из бетона, кирпича, черепицы - ? Теперь вы можете оценить сколько средств необходимо, чтобы построить такой небольшой домик. Это конечно без учета стоимости работ, доставки материалов и других затрат, но, тем не менее, с простыми расчетами вы можете справиться теперь самостоятельно. Дома я вам предлагаю выполнить такие задания:

1. посчитать стоимость дома из кирпича и черепицы по размерам, указанным в карточках.

2) творческого характера. Попытайтесь воплотить свою мечту – придумайте домик по душе, выбрав соответствующие строительные материалы, и рассчитайте его стоимость. Расценки на строительные материалы вы можете узнать в соответствующих строительных фирмах и торгующих организациях. Есть вопросы? Дерзайте!

Подведем итог урока:

Сегодня мы повторили формулы вычисления поверхностей и объемов многогранников, при этом вы показали хорошие знания, ваш учитель математики может гордиться вами;

• научились применять эти формулы при решении задач практического содержания.

Спасибо вам за работу!

Задания для проекта презентации №1, №2, №3

призма	Параллеле-пипед		Куб	пирамида	Усеченная пирамида	Правиль-ная пирамида	Тетраэдр
S=Sбок + 2Sосн	S=Sбок + 2Sосн	S=Sбок + 2Sосн 2H(a+b) + 2ab	S=Sбок + 2Sосн 6a 2	S=Sбок + Sосн	S=Sбок + Sосн1 + S осн2	S=Sбок + Sосн Anl/2 + Sосн	S=Sбок + 2Sосн
V= Sосн H	V= Sосн H	V= Sосн H = a b H	V= Sосн H = a 3

Формулы площадей поверхности и объемов многогранников

призма	Параллеле-пипед	Прямо-угольный параллелепипед	Куб	пирамида	Усеченная пирамида	Правиль-ная пирамида	Тетраэдр

Формулы площадей поверхности и объемов многогранников

призма	Параллеле-пипед	Прямо-угольный параллелепипед	Куб	пирамида	Усеченная пирамида	Правиль-ная пирамида	Тетраэдр

Формулы площадей поверхности и объемов многогранников

призма	Параллеле-пипед	Прямо-угольный параллелепипед	Куб	пирамида	Усеченная пирамида	Правиль-ная пирамида	Тетраэдр