Виды событий, непосредственное вычисление вероятности появления события. Расчет вероятности объединения (логической суммы) событий Характеристики положения случайной величины

Иногда ее выражают в процентах: Р(А) 100% есть средний процент числа появлений события A . Конечно, следует помнить, что речь идет о некоторой массовой операции, т. е. условия S производства испытаний - определенные; если их существенно изменить, то может измениться вероятность события A : то будет вероятность события A в другой массовой операции, с другими условиями испытаний. В дальнейшем будем считать, не оговаривая это каждый раз, что речь идет об определенной массовой операции; если же условия, при которых осуществляются испытания, меняются, то это будет специально отмечаться.

37 Основные правила нахождения вероятности события.38,39

Комбинаторика это раздел математики в котором изучается вопрос о том сколько

различных комбинаций подчиненных тем или иным условиям можно составить из

конечного числа различных элементов.

Комбинации отличающиеся друг от друга составом элементов или их порядком

называются соединениями различают три вида соединений.

Размещениями называются соединения составленные из n-различных элементов по

m-элементам, которые отличаются друг от друга либо составом эл-тов либо их

порядком.

Перестановки называют соединения составленные из одних и тех же n-элементов,

которые отличаются друг от друга только их порядком размещения

Сочетаниями называются соединения составленные из n-различных элементов по m-

элементам, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.

Сочетания с повторениями это такие соединения состоящие из n-различных

элементов по m-элементам отличающиеся друг от друга или хотя бы одним

элементом или тем что хотя бы один элемент входит различное число раз

Правило суммы

Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов М

способами, а объект В N способами, то выбор либо объекта А либо объекта В

может быть осуществлен М+N способами.

Правило произведения

Если объект А может быть выбран из совокупности объектов М способами, а после

такого выбора объект В может быть выбран N способами, то пара объесков А и В

могут быть выбраны А*В способами.

Основные понятия теории вероятностей

Событием называется любой исход опыта, различают следующие виды событий:

Случайные

Достоверные

Невозможные

Понятие достоверного и невозможного события используется для количественной

оценки возможности появления того или иного явления, а с количественной

оценкой связана вероятность.

События называется несовместными в данном опыте если появление одного из

них исключает появление другого.

События называется совместными если появление одного из них не исключает

появление остальных.

Несколько событий образуют полную группу событий если в результате опыта

обязательно появится хотя бы одно из них.

Если два несовместных события образуют полную группу они называются

противоположными

События называется равновозможными если появление ни одного из них не

является объективно более возможным чем другие.

События называются неравновозможными если появление хотя бы одного из

них является более возможным чем другие.

Случаями называются несовместные равновозможные и образующие полную

группу события.

Вычисление вероятностей

1. классический способ

2. геометрический

3. статистический

Первые два способа называются способами непосредственного подсчета

вероятности, а классический основан на подсчете числа опытов

благоприятствующих данному событию среди всех его возможных исходах.

Основы теории вероятности

Суммой событий А i называется событие С состоящее в появлении события

А или события В или их обоих вместе.

Суммой события А и В называется событие С заключенное в выполнении хотя бы

одного из названых событий.

Произведением нескольких событий называется событие заключающееся в

совместном выполнении всех этих событий.

Теорема умножения вероятностей .

Событие А называется зависимым от события В если его вероятность меняется в

зависимости от того произошло событие В или нет.

Для независимых событий условная и безусловная вероятность совпадают.

Вероятность появления двух зависимых событий равна произведению вероятностей

одного из них на вероятность другого вычисленную при условии, что первое

событие имело место.

Р(А*В)=Р(А)*Р(В/А)=Р(В)*Р(В/А)

Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей

этих событий причем вероятность каждого следующего события вычисляется при

условии, что все предыдущие имели место.

Р(А 1 ;А 2 .А n)=Р(А 1)*Р(А 2 /А 1)*.

*Р(А n /А 1 ,А 2 .А n-1)

Теорема сложения вероятностей совместных событий

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих

событий без вероятности их совместного появления.

Р(А)+Р(В)=Р(А)+Р(В)-Р(А*В)

Вероятность появления хотя бы одного события

Вероятность появления события А заключающееся в наступлении хотя бы одного из

независимых совокупностей событий.А 1 ,А 2 .А n

равна разности между единицей и произведением вероятности противоположных

событий А 1 ,А 2 .А n

Р(А)=1-q 1 *q 2 *.*q n

Формула полной вероятности

Пусть событие А может появиться вместе с одним из образующих полную группу

попарнонесовместных событий Н 1 ,Н 2 .Н n

называемых гипотезами, тогда вероятность события А вычисляется как сумма

произведений вероятностей каждой гипотезы на вероятность события А при этой

гипотезе

Формула Бейса

Пусть имеется полная группа попарнонесовместных гипотез Н 1 ,Н 2

Н n с известными вероятностями появления. В результате проведения

опыта появилось некоторое события А, требуется переоценить вероятности гипотез

при условии, что событие А произошло

Повторение опытов

Несколько опытов называются независимыми, если вероятность одного или иного

из исходов каждого их опытов не зависит от того какие исходы имели другие

Теорема. Если производится n независимых опытов в каждом из которых

событие А появляется с одинаковой вероятностью р, причем то тогда вероятность

того, что событие А появится ровно m раз определяется по формуле.

Формула Бернули

формула Бернули применяется в тех случаях, когда число опытов невелико, а

вероятности появления достаточно велики.

Если число испытаний n стремится к 0, а вероятность появления события А в каждом

из опытов р стремится к 0, то для определения вероятности появления события А

ровно m раз применяют формулу Пуассона

Если число опытов достаточно велико но не бесконечно, а вероятность появления

события А в каждом опыте не стремится к 0, применяют локальную и интегральную

теоремы Лапласа

Локальная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых

испытаниях в каждом из которых вероятность появления события А равно р причем

1>р>0, то это событие наступает ровно m раз приблизительно равна

Интегральная теорема Лапласа . Вероятность того, что в n независимых

испытаниях в каждом из которых вероятность появления события А равно р, причем

1>р>0, то событие А наступит не менее m 1 раз и не более m

2 раза приблизительно равно

Случайные величины и законы их распределения

Опытом называется всякое осуществление определенных условий и действий при

которых наблюдается изучаемое случайное явление. Опыты можно характеризовать

качественно и количественно.

Случайной называется величина, которая в результате опыта может принимать то

или иное значение., причем заранее не известно какое именно. Случайные

величины принято обозначать (X,Y,Z), а соответствующие им значения (x,y,z)

Дискретными называются случайные величины принимающие отдельные

изолированные друг от друга значения, которые можно переоценить.

Непрерывными величины возможные значение которых непрерывно заполняют

некоторый диапазон.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение

устанавливающее связь между возможными значениями случайных величин и

соответствующими им вероятности.

Ряд и многоугольник распределения.

Простейшей формой закона распределения дискретной величины является ряд

распределения.

Графической интерпретацией ряда распределения является многоугольник

распределения.

Функция распределения случайной величины.

Для непрерывных случайных величин применяют такую форму закона распределения,

как функция распределения.

Функция распределения случайной величины Х, называется функцией аргумента х,

что случайная величина Х принимает любое значение меньшее х (Х<х)

F(х)=Р(Х<х)

F(х) - иногда называют интегральной функцией распределения или интегральным

законом распределения.

Функция распределения обладает следующими свойствами:

1. 0

2. если х 1 >х 2 ,то F(х 1)>F(х 2)

функция может быть изображена в виде графика. Для непрерывной величины это

будет кривая изменяющееся в пределах от 0 до 1, а для дискретной величины -

ступенчатая фигура со скачками.

С помощью функции распределения легко находится вероятность попадания

величины на участок от α до β

Р(α<х<β) рассмотрим 3 события

В - α<Х<β

Р(С)=Р(А)+Р(В)

Р(α<х<β)=Р(α)-Р(β)

Плотность распределения вероятности непрерывной случайной величины.

Плотность распределения вероятности непрерывной случайной величины Х

называется функция f(х) равная первой производной от функции распределения

График плотности распределения называется кривой распределения.

Основные свойства плотности функции распределения:

Характеристики положения случайной величины.

Модой (Мо) случайной величины х называется наиболее вероятное ее

значение. Это определение строго относится к дискретным случайным величинам.

Для непрерывной величины модой называется такое ее значение для которого

ф-ция плотности распределения имеет максимальную величину.

Медианой (Ме) случайной величины называется такое ее значение для

которого окажется ли случайная величина меньше этого значения.

Для непрерывной случайной величины медиана это абсцисса точки в которой

площадь под кривой распределяется пополам.

Для дискретной случайной величины значение медианы зависит от того четное или

нечетное значение случайной величины

n=2k+1, то Ме=х к+1 (среднее по порядку значение)

Если значение случайных величин четное, т.е n=2k, то

Математическое ожидание случайной величины.

Математическим ожиданием случайной величины х (M[x] )называется средне

взвешенно значение случайной величины причем в качестве весов выступают

вероятности появления тех или иных значений.

Для дискретной случайной величины

Для непрерывной

С механической точки зрения мат. Ожидание это абсцисса центра тяжести системы

точек расположенных по одноименной оси. Размерность мат. Ожидания совпадает с

размерностью самой случайной величины.

Математическое ожидание случайной величины всегда больше наименьшего значения

и меньше наибольшего.

Характеристики рассеяния.

Дисперсия

Дисперсия (D[x]) характеризует рассеивание или разряженность случайной

величины около ее математического ожидания.

Для дискретных

Для непрерывных

Дисперсия случайной величины всегда величина положительная

Размерность дисперсии равна квадрату разности случайной величины

Среднеквадратическое (стандартное) отклонение.

Некоторые законы распределения случайных величин.

Для дискретных случайных величин - биномиальное распределение и распределение

Пуассона

Для непрерывных - равномерное показательное, экспоненциальное и нормальное

распределение.

Биномиальное распределение.

Биномиальным называют законы распределения случайной величины Х числа

появления некоторого события в n опытах если вероятность р появления события

в каждом опыте постоянна

Сумма вероятностей представляют собой бином Ньютона

Для определения числовых характеристик в биномиальное распределение

подставить вероятность которая определяется по формуле Бернули.

При биномиальном распределении дисперсия равна мат. Ожиданию умноженному на

вероятность появления события в отдельном опыте.

Распределение Пуассона

Когда требуется спрогнозировать ожидаемую очередь и разумно сбалансировать

число и производительность точек обслуживания и время ожидания в очереди.

Пуассоновским называют закон распределения дискретной случайной величины Х

числа появления некоторого события в n-независимых опытах если вероятность

того, что событие появится ровно m раз определяется по формуле.

n-число проведенных опытов

р-вероятность появления события в каждом опыте

В теории массового обслуживания параметр пуассоновского распределения

определяется по формуле

а=λt , где λ - интенсивность потока сообщений t-время

Необходимо отметить, что пуассоновское распределение является предельным

случаем биномиального, когда испытаний стремится к бесконечности, а

вероятность появления события в каждом опыте стремится к 0.

Пуассоновское распределение является единичным распределением для которого

такие характеристики как мат. Ожидание и дисперсия совпадают и они равны

параметру этого закона распределения а.

Закон равномерной плотности

Равномерным называется распределение непрерывной случайной величины Х все

значения которой лежат на отрезке и имеют при этом постоянную плотность

распределения

площадь под кривой распределения равна 1 и поэтому с(в-а)=1

вероятность попадания случайной величины Х на интервал от (α;β)

α=а, если α<а

β=в, если β>в

основные числовые характеристики закона распределения плотности вычисляются

по общим формулам и они равны

Показательное (экспоненциальное распределение)

Показательным называют распределение непрерывной случайной величины Х которое

описывается следующей дифференциальной функцией

Экспоненциальное распределение для непрерывных случайных величин является

аналогом распределения Пуассона для дискретных случайных величин и имеет

следующий вид.

вероятность попадания случайной величины Х на интервал (α;β)

Следует отметить, что время безотказной работы удовлетворяется именно

показательному закону, а поэтому это понятие часто используется в понятии

надежности.

Нормальный закон распределения (закон Гаусса)

Нормальным называется распределение случайной величины Х если ф-ция плотности

распределения

Полученное выражение через элементарные функции не может быть выражено, такая

функция так называемый интеграл вероятности для которой составлены таблицы,

чаще всего в качестве такой функции используют

Часто по условию задачи необходимо определить вероятность попадания случайной

величины Х на участок симметричный математическому ожиданию.

Правило трех сигм это правило часто используется для подтверждения или

отбрасывания гипотезы о нормальном распределении случайной величины.

Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений. Под случайными явлениями пони-маются явления с неопределенным исходом, происходящие при неоднократном воспроизведении определенного комплекса условий.

Например, при бросании монеты нельзя предсказать, какой стороной она упадет. Результат бросания монеты случаен. Но при дос-таточно большом числе бросаний монеты существует определенная закономерность (герб и решетка выпадут примерно одинаковое число раз).

Основные понятия теории вероятностей

Испытание (опыт, эксперимент) - осуществление некоторого определенного комплекса условий, в которых наблюдается то или иное явление, фиксируется тот или иной результат.

Например: подбрасывание игральной кости с выпадением числа очков; перепад температуры воздуха; метод лечения заболевания; некоторый период жизни человека.

Случайное событие (или просто событие) – исход испытания.

Примеры случайных событий:

выпадение одного очка при подбрасывании игральной кости;

обострение ишемической болезни сердца при резком повышении температуры воздуха летом;

развитие осложнений заболевания при неправильном выборе метода лечения;

поступление в вуз при успешной учебе в школе.

События обозначают прописными буквами латинского алфа-вита: A , B , C , …

Событие называется достоверным , если в результате испытания оно обязательно должно произойти.

Событие называется невозможным , если в результате испы-тания оно вообще не может произойти.

Например,если в партии все изделия стандартные, то извлечение из неё стандартного изделия - событие достоверное, а извлечение при тех же условиях бракованного изделия – событие невозможное.

КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

Вероятность является одним из основных понятий теории вероятностей.

Классической вероятностью события называется отношение числа случаев, благоприятствующих событию , к общему числу случаев, т.е.

, (5.1)

где
- вероятность события ,

- число случаев, благоприятствующих событию ,

- общее число случаев.

Свойства вероятности события

Вероятность любого события заключена между нулем и единицей, т.е.

Вероятность достоверного события равна единице, т.е.

.

Вероятность невозможного события равна нулю, т.е.

.

(Предложить решить несколько простых задач устно).

СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

На практике часто при оценке вероятностей событий основываются на том, насколько часто будет появляться данное событие в произведенных испытаниях. В этом случае используется статистическое определение вероятности.

Статистической вероятностью события называется предел относительной частоты (отношение числа случаев m , благоприятствующих появлению события , к общему числу произведенных испытаний), когда число испытаний стремится к бесконечности, т.е.

где
- статистическая вероятность события ,
- число испытаний, в которых появилось событие , - общее число испытаний.

В отличие от классической вероятности, статистическая вероятность является характеристикой опытной. Классическая вероятность служит для теоретического вычисления вероятности события по заданным условиям и не требует, чтобы испытания проводились в действительности. Формула статистической вероятности служит для экспериментального определения вероятности события, т.е. предполагается, что испытания были проведены фактически.

Статистическая вероятность приблизительно равна относительной частоте случайного события, поэтому на практике за статистическую вероятность берут относительную частоту, т.к. статистическую вероятность практически найти нельзя.

Статистическое определение вероятности применимо к случайным событиям, которые обладают следующими свойствами:

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Основные понятия

а) Единственно возможные события

События
называют единственно возможными, если в результате каждого испытания хотя бы одно из них наверняка наступит.

Эти события образуют полную группу событий.

Например, при подбрасывании игрального кубика, единственно возможными являются события выпадения граней с одним, двумя, тремя, четырьмя, пятью и шестью очками. Они образуют полную группу событий.

б) События называют несовместными , если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании. В противном случае их называют совместными.

в) Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Обозначают и .

г ) События называют независимыми , если вероятность наступления одного из них не зависит от совершения или несовершения других.

Действия над событиями

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из данных событий.

Если и – совместные события, то их сумма
или
обозначает наступление или события A, или события B, или обоих событий вместе.

Если и – несовместные события, то их сумма
означает наступление или события , или события .

Сумму событий обозначают:

Произведением (пересечением) нескольких событий называется событие, состоящее в совместном наступлении всех этих событий.

Произведение двух событий обозначают
или
.

Произведение событий обозначают

Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Вероятность суммы двух или нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Для двух событий;

- для событий.

Следствия:

а) Сумма вероятностей противоположных событий и равна единице:

Вероятность противоположного события обозначают :
.

б) Сумма вероятностей событий, образующих полную группу событий, равна единице: или
.

Теорема сложения вероятностей совместных событий

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятностей их пересечения, т.е.

Теорема умножения вероятностей

а) Для двух независимых событий:

б) Для двух зависимых событий

где
– условная вероятность события , т.е. вероятность события , вычисленная при условии, что событие произошло.

в) Для независимых событий:

.

г) Вероятность наступления хотя бы одного из событий ,образующих полную группу независимых событий:

Условная вероятность

Вероятность события , вычисленная при условии, что произошло событие , называется условной вероятностью события и обозначается
или
.

При вычислении условной вероятности по формуле клас-сической вероятности число исходов и
подсчитывается с учетом того, что до совершения события произошло событие .

ТЕМА 1 . Классическая формула вычисления вероятности.

Основные определения и формулы:

Эксперимент, исход которого невозможно предсказать, называют случайным экспериментом (СЭ).

Событие, которое в данном СЭ может произойти, а может и не произойти, называют случайным событием .

Элементарными исходами называют события, удовлетворяющие требованиям:

1.при всякой реализации СЭ происходит один и только один элементарный исход;

2.всякое событие есть некоторая комбинация, некоторый набор элементарных исходов.

Множество всех возможных элементарных исходов полностью описывает СЭ. Такое множество принято называть пространством элементарных исходов (ПЭИ). Выбор ПЭИ для описания данного СЭ неоднозначен и зависит от решаемой задачи.

Р(А) = n (A ) / n ,

где n – общее число равновозможных исходов,

n (A ) – число исходов, составляющих событие А, как говорят еще, благоприятствующих событию А.

Слова “наудачу”, “наугад”, “случайным образом” как раз и гарантируют равновозможность элементарных исходов.

Решение типовых примеров

Пример 1. Из урны, содержащей 5 красных, 3 черных и 2 белых шара, наудачу извлекают 3 шара. Найти вероятности событий:

А – “все извлеченные шары красные”;

В – “ все извлеченные шары – одного цвета”;

С – “среди извлеченных ровно 2 черных”.

Решение:

Элементарным исходом данного СЭ является тройка (неупорядоченная!) шаров. Поэтому, общее число исходов есть число сочетаний: n == 120 (10 = 5 + 3 + 2).

Событие А состоит только из тех троек, которые извлекались из пяти красных шаров, т.е. n (A )== 10.

Событию В кроме 10 красных троек благоприятствуют еще и черные тройки, число которых равно= 1. Поэтому: n (B )=10+1=11.

Событию С благоприятствуют те тройки шаров, которые содержат 2 черных и один не черный. Каждый способ выбора двух черных шаров может комбинироваться с выбором одного не черного (из семи). Поэтому: n (C ) = = 3 * 7 = 21.

Итак: Р(А) = 10/120; Р(В) = 11/120; Р(С) = 21/120.

Пример 2. В условиях предыдущей задачи будем считать, что шары каждого цвета имеют свою нумерацию, начиная с 1. Найти вероятности событий:

D – “максимальный извлеченный номер равен 4”;

Е – “ максимальный извлеченный номер равен 3”.

Решение:

Для вычисления n (D ) можно считать, что в урне есть один шар с номером 4, один шар с большим номером и 8 шаров (3к+3ч+2б) с меньшими номерами. Событию D благоприятствуют те тройки шаров, которые обязательно содержат шар с номером 4 и 2 шара с меньшими номерами. Поэтому: n (D ) =

P (D ) = 28/120.

Для вычисления n (Е) считаем: в урне два шара с номером 3, два с большими номерами и шесть шаров с меньшими номерами (2к+2ч+2б). Событие Е состоит из троек двух типов:

1.один шар с номером 3 и два с меньшими номерами;

2.два шара с номером 3 и один с меньшим номером.

Поэтому: n (E )=

Р(Е) = 36/120.

Пример 3. Каждая из М различных частиц бросается наудачу в одну из N ячеек. Найти вероятности событий:

А – все частицы попали во вторую ячейку;

В – все частицы попали в одну ячейку;

С – каждая ячейка содержит не более одной частицы (M £ N );

D – все ячейки заняты (M =N +1);

Е – вторая ячейка содержит ровно к частиц.

Решение:

Для каждой частицы имеется N способов попасть в ту или иную ячейку. По основному принципу комбинаторики для М частиц имеем N *N *N *…*N (М-раз). Итак, общее число исходов в данном СЭ n = N M .

Для каждой частицы имеем одну возможность попасть во вторую ячейку, поэтому n (A ) = 1*1*…*1= 1 М = 1, и Р(А) = 1/ N M .

Попасть в одну ячейку (всем частицам) означает попасть всем в первую, или всем во вторую, или и т.д. всем в N -ю. Но каждый из этих N вариантов может осуществиться одним способом. Поэтому n (B )=1+1+…+1(N -раз)=N и Р(В)=N /N M .

Событие С означает, что у каждой частицы число способов размещения на единицу меньше, чем у предыдущей частицы, а первая может попасть в любую из N ячеек. Поэтому:

n (C ) = N *(N -1)*…*(N +M -1) и Р(С) =

В частном случае при M =N : Р(С)=

Событие D означает, что одна из ячеек содержит две частицы, а каждая из (N -1) оставшихся ячеек содержит по одной частице. Чтобы найти n (D ) рассуждаем так: выберем ячейку в которой будет две частицы, это можно сделать =N способами; затем выберем две частицы для этой ячейки, для этого существует способов. После этого оставшиеся (N -1) частиц распределим по одной в оставшиеся (N -1) ячеек, для этого имеется (N -1)! способов.

Итак, n (D ) =

.

Число n (E ) можно подсчитать так: к частиц для второй ячейки можно способами, оставшиеся (М – К) частиц распределяются произвольным образом по (N -1) ячейке (N -1) М-К способами. Поэтому:

Многие, столкнувшись с понятием «теория вероятности», пугаются, думая, что это нечто непосильное, очень сложное. Но все на самом деле не так трагично. Сегодня мы рассмотрим основное понятие теории вероятности, научимся решать задачи на конкретных примерах.

Наука

Что же изучает такой раздел математики, как «теория вероятности»? Она отмечает закономерности и величин. Впервые данным вопросом заинтересовались ученые еще в восемнадцатом веке, когда изучали азартные игры. Основное понятие теории вероятности - событие. Это любой факт, который констатируется опытом или наблюдением. Но что же такое опыт? Еще одно основное понятие теории вероятности. Оно означает, что этот состав обстоятельств создан не случайно, а с определенной целью. Что касается наблюдения, то здесь исследователь сам не участвует в опыте, а просто является свидетелем данных событий, он никак не влияет на происходящее.

События

Мы узнали, что основное понятие теории вероятности - это событие, но не рассмотрели классификацию. Все они делятся на следующие категории:

• Достоверные.
• Невозможные.
• Случайные.

Независимо от того, какие это события, за которыми наблюдают или создают в ходе опыта, все они подвержены данной классификации. Предлагаем с каждым из видов познакомиться отдельно.

Достоверное событие

Это такое обстоятельство, перед которым сделан необходимый комплекс мероприятий. Для того чтобы лучше вникнуть в суть, лучше привести несколько примеров. Этому закону подчинены и физика, и химия, и экономика, и высшая математика. Теория вероятности включает такое важное понятие, как достоверное событие. Приведем примеры:

• Мы работаем и получаем вознаграждение в виде заработной платы.
• Сдали хорошо экзамены, прошли конкурс, за это получаем вознаграждение в виде поступления в учебное заведение.
• Мы вложили деньги в банк, при необходимости получим их назад.

Такие события являются достоверными. Если мы выполнили все необходимые условия, то обязательно получим ожидаемый результат.

Невозможные события

Сейчас мы рассматриваем элементы теории вероятности. Предлагаем перейти к пояснению следующего вида события, а именно - невозможного. Для начала оговорим самое важное правило - вероятность невозможного события равна нулю.

От данной формулировки нельзя отступать при решении задач. Для пояснения приведем примеры таких событий:

• Вода замерзла при температуре плюс десять (это невозможно).
• Отсутствие электроэнергии никак не влияет на производство (так же невозможно, как и в предыдущем примере).

Более примеров приводить не стоит, так как описанные выше очень ярко отражают суть данной категории. Невозможное событие никогда не произойдет во время опыта ни при каких обстоятельствах.

Случайные события

Изучая элементы особое внимание стоит уделить именно данному виду события. Именно их и изучает данная наука. В результате опыта может что-то произойти или нет. Кроме этого, испытание может проводиться неограниченное количество раз. Яркими примерами могут служить:

• Бросок монеты - это опыт, или испытание, выпадение орла - это событие.
• Вытягивание мячика из мешка вслепую - испытание, попался красный шар - это событие и так далее.

Таких примеров может быть неограниченное количество, но, в общем, суть должна быть понятна. Для обобщения и систематизирования полученных знаний о событиях приведена таблица. Теория вероятности изучает только последний вид из всех представленных.

название	определение
Достоверные	События, происходящие со стопроцентной гарантией при соблюдении некоторых условий.	Поступление в учебное заведение при хорошей сдаче вступительного экзамена.
Невозможные	События, которые никогда не произойдут ни при каких условиях.	Идет снег при температуре воздуха плюс тридцать градусов по Цельсию.
Случайные	Событие, которое может произойти или нет в ходе проведения опыта/испытания.	Попадание или промах при бросании баскетбольного мяча в кольцо.

Законы

Теория вероятности - это наука, изучающая возможность выпадения какого-либо события. Как и другие, она имеет некоторые правила. Существуют следующие законы теории вероятности:

• Сходимость последовательностей случайных величин.
• Закон больших чисел.

При расчете возможности сложного можно использовать комплекс простых событий для достижения результата более легким и быстрым путем. Отметим, что законы теории вероятности легко доказываются с помощью некоторых теорем. Предлагаем для начала познакомиться с первым законом.

Сходимость последовательностей случайных величин

Отметим, что видов сходимости несколько:

• Последовательность случайных величин сходима по вероятности.
• Почти невозможное.
• Среднеквадратическая сходимость.
• Сходимость по распределению.

Так, с лету, очень тяжело вникнуть в суть. Приведем определения, которые помогут разобраться в данной теме. Для начала первый вид. Последовательность называют сходимой по вероятности , если соблюдено следующее условие: n стремится к бесконечности, число, к которому стремится последовательность, больше нуля и приближена к единице.

Переходим к следующему виду, почти наверное . Говорят, что последовательность сходится почти наверное к случайной величине при n, стремящейся к бесконечности, и Р, стремящейся к величине, приближенной к единице.

Следующий тип - это сходимость среднеквадратическая . При использовании СК-сходимости изучение векторных случайных процессов сводится к изучению их координатных случайных процессов.

Остался последний тип, давайте разберем кратко и его, чтобы переходить непосредственно к решению задач. Сходимость по распределению имеет и еще одно название - «слабое», далее поясним, почему. Слабая сходимость — это сходимость функций распределения во всех точках непрерывности предельной функции распределения.

Обязательно выполним обещание: слабая сходимость отличается от всех вышеперечисленных тем, что случайная величина не определена на вероятностном пространстве. Это возможно потому, что условие формируется исключительно с использованием функций распределения.

Закон больших чисел

Отличными помощниками при доказательстве данного закона станут теоремы теории вероятности, такие как:

• Неравенство Чебышева.
• Теорема Чебышева.
• Обобщенная теорема Чебышева.
• Теорема Маркова.

Если будем рассматривать все эти теоремы, то данный вопрос может затянуться на несколько десятков листов. У нас же основная задача - это применение теории вероятности на практике. Предлагаем вам прямо сейчас этим и заняться. Но перед этим рассмотрим аксиомы теории вероятностей, они будут основными помощниками при решении задач.

Аксиомы

С первой мы уже познакомились, когда говорили о невозможном событии. Давайте вспоминать: вероятность невозможного события равна нулю. Пример мы приводили очень яркий и запоминающийся: выпал снег при температуре воздуха тридцать градусов по Цельсию.

Вторая звучит следующим образом: достоверное событие происходит с вероятностью, равной единице. Теперь покажем, как это записать с помощью математического языка: Р(В)=1.

Третья: Случайное событие может произойти или нет, но возможность всегда варьируется в пределах от нуля до единицы. Чем ближе значение к единице, тем шансов больше; если значение приближается к нулю, вероятность очень мала. Запишем это математическим языком: 0<Р(С)<1.

Рассмотрим последнюю, четвертую аксиому, которая звучит так: вероятность суммы двух событий равняется сумме их вероятностей. Записываем математическим языком: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Аксиомы теории вероятностей - это простейшие правила, которые не составит труда запомнить. Попробуем решить некоторые задачи, опираясь на уже полученные знания.

Лотерейный билет

Для начала рассмотрим простейший пример - лотерея. Представьте, что вы купили один лотерейный билет на удачу. Какова вероятность, что вы выиграете не менее двадцати рублей? Всего в тираже участвует тысяча билетов, один из которых имеет приз в пятьсот рублей, десять по сто рублей, пятьдесят по двадцать рублей, а сто - по пять. Задачи по теории вероятности основаны на том, чтобы найти возможность удачи. Сейчас вместе разберем решение выше представленного задания.

Если мы буквой А обозначим выигрыш в пятьсот рублей, то вероятность выпадения А будет равняться 0,001. Как мы это получили? Просто необходимо количество "счастливых" билетов разделить на общее их число (в данном случае: 1/1000).

В - это выигрыш в сто рублей, вероятность будет равняться 0,01. Сейчас мы действовали по тому же принципу, что и в прошлом действии (10/1000)

С - выигрыш равен двадцати рублям. Находим вероятность, она равняется 0,05.

Остальные билеты нас не интересуют, так как их призовой фонд меньше заданного в условии. Применим четвертую аксиому: Вероятность выиграть не менее двадцати рублей составляет Р(А)+Р(В)+Р(С). Буквой Р обозначается вероятность происхождения данного события, мы в предыдущих действиях уже их нашли. Осталось только сложить необходимые данные, в ответе мы получаем 0,061. Это число и будет являться ответом на вопрос задания.

Карточная колода

Задачи по теории вероятности бывают и более сложными, для примера возьмем следующее задание. Перед вами колода из тридцати шести карт. Ваша задача - вытянуть две карты подряд, не перемешивая стопку, первая и вторая карты должны быть тузами, масть значения не имеет.

Для начала найдем вероятность того, что первая карта будет тузом, для этого четыре делим на тридцать шесть. Отложили его в сторону. Достаем вторую карту, это будет туз с вероятностью три тридцать пятых. Вероятность второго события зависит от того, какую карту мы вытянули первой, нам интересно, был это туз или нет. Из этого следует, что событие В зависит от события А.

Следующим действием находим вероятность одновременного осуществления, то есть перемножаем А и В. Их произведение находится следующим образом: вероятность одного события умножаем на условную вероятность другого, которую мы вычисляем, предполагая, что первое событие произошло, то есть первой картой мы вытянули туз.

Для того чтобы стало все понятно, дадим обозначение такому элементу, как события. Вычисляется она, предполагая, что событие А произошло. Рассчитывается следующим образом: Р(В/А).

Продолжим решение нашей задачи: Р(А * В)=Р(А) * Р(В/А) или Р(А * В)=Р(В) * Р(А/В). Вероятность равняется (4/36) * ((3/35)/(4/36). Вычисляем, округляя до сотых. Мы имеем: 0,11 * (0,09/0,11)=0,11 * 0,82=0,09. Вероятность того, что мы вытянем два туза подряд, равна девяти сотым. Значение очень мало, из этого следует, что и вероятность происхождения события крайне мала.

Забытый номер

Предлагаем разобрать еще несколько вариантов заданий, которые изучает теория вероятности. Примеры решения некоторых из них вы уже видели в данной статье, попробуем решить следующую задачу: мальчик забыл последнюю цифру номера телефона своего друга, но так как звонок был очень важен, то начал набирать все по очереди. Нам необходимо вычислить вероятность того, что он позвонит не более трех раз. Решение задачи простейшее, если известны правила, законы и аксиомы теории вероятности.

Перед тем как смотреть решение, попробуйте решить самостоятельно. Нам известно, что последняя цифра может быть от нуля до девяти, то есть всего десять значений. Вероятность набрать нужную составляет 1/10.

Далее нам нужно рассматривать варианты происхождения события, предположим, что мальчик угадал и сразу набрал нужную, вероятность такого события равняется 1/10. Второй вариант: первый звонок промах, а второй в цель. Рассчитаем вероятность такого события: 9/10 умножаем на 1/9, в итоге получаем также 1/10. Третий вариант: первый и второй звонок оказались не по адресу, только с третьего мальчик попал туда, куда хотел. Вычисляем вероятность такого события: 9/10 умножаем на 8/9 и на 1/8, получаем в итоге 1/10. Другие варианты по условию задачи нас не интересуют, по этому нам осталось сложить полученные результаты, в итоге мы имеем 3/10. Ответ: вероятность того, что мальчик позвонит не более трех раз, равняется 0,3.

Карточки с числами

Перед вами девять карточек, на каждой из которых написано число от одного до девяти, цифры не повторяются. Их положили в коробку и тщательно перемешали. Вам необходимо рассчитать вероятность того, что

• выпадет четное число;
• двухзначное.

Перед тем как переходить к решению, оговорим, что m - это число удачных случаев, а n - это общее количество вариантов. Найдем вероятность того, что число будет четным. Не составит труда посчитать, что четных чисел четыре, это и будет наша m, всего возможно девять вариантов, то есть m=9. Тогда вероятность равняется 0,44 или 4/9.

Рассматриваем второй случай: количество вариантов девять, а удачных исходов быть вообще не может, то есть m равняется нулю. Вероятность того, что вытянутая карточка будет содержать двухзначное число, так же равняется нулю.

Когда бросается монета, можно сказать, что она упадет орлом вверх, или вероятность этого составляет 1/2. Конечно, это не означает того, что если монета подбрасывается 10 раз, она обязательно упадет вверх орлом 5 раз. Если монета является "честной" и если она подбрасывается много раз, то орел выпадет очень близко в половине случаев. Таким образом, существует два вида вероятностей: экспериментальная и теоретическая .

Экспериментальная и теоретическая вероятность

Если бросить монетку большое количество раз - скажем, 1000 - и посчитать, сколько раз выпадет орел, мы можем определить вероятность того, что выпадет орел. Если орел выпадет 503 раза, мы можем посчитать вероятность его выпадения:
503/1000, или 0,503.

Это экспериментальное определение вероятности. Такое определение вероятности вытекает из наблюдения и изучения данных и является довольно распространенным и очень полезным. Вот, к примеру, некоторые вероятности которые были определены экспериментально:

1. Вероятность того, что у женщины разовьется рак молочной железы составляет 1/11.

2. Если вы целуетесь, с кем-то, кто болен простудой, то вероятность того, что вы тоже заболеете простудой, составляет 0,07.

3. Человек, который только что был освобожден из тюрьмы, имеет 80% вероятности возвращения назад в тюрьму.

Если мы рассматриваем бросание монеты и беря во внимание то, что столь же вероятно, что выпадет орел или решка, мы можем вычислить вероятность выпадение орла: 1 / 2. Это теоретическое определение вероятности. Вот некоторые другие вероятности, которые были определены теоретически, с помощью математики:

1. Если находится 30 человек в комнате, вероятность того, что двое из них имеют одинаковый день рождения (исключая год), составляет 0,706.

2. Во время поездки, Вы встречаете кого-то, и в течение разговора обнаруживаете, что у вас есть общий знакомый. Типичная реакция: "Этого не может быть!". На самом деле, эта фраза не подходит, потому что вероятность такого события достаточно высока - чуть более 22%.

Таким образом, экспериментальная вероятность определяются путем наблюдения и сбора данных. Теоретические вероятности определяются путем математических рассуждений. Примеры экспериментальных и теоретических вероятностей, как например, рассмотренных выше, и особенно тех, которые мы не ожидаем, приводят нас, к ваэности изучения вероятности. Вы можете спросить: "Что такое истинная вероятность?" На самом деле, таковой нет. Экспериментально можно определить вероятности в определенных пределах. Они могут совпадать или не совпадать с вероятностями, которые мы получаем теоретически. Есть ситуации, в которых гораздо легче определить один из типов вероятности, чем другой. Например, было бы довольно найти вероятность простудиться, используя теоретическую вероятность.

Вычисление экспериментальных вероятностей

Рассмотрим сначала экспериментальное определение вероятности. Основной принцип, который мы используем для вычисления таких вероятностей, является следующим.

Принцип P (экспериментальный)

Если в опыте, в котором проводится n наблюдений, ситуация или событие Е происходит m раз за n наблюдений, то говорят, что экспериментальная вероятность события равна P (E) = m/n.

Пример 1 Социологический опрос. Было проведено экспериментальное исследование, чтобы определить количество левшей, правшей и людей, у которых обе руки развиты одинаково Результаты показаны на графике.

a) Определите вероятность того, что человек - правша.

b) Определите вероятность того, что человек - левша.

c) Определите вероятность того, что человек одинаково свободно владеет обеими руками.

d) В большинстве турниров, проводимых Профессиональной Ассоциацией Боулинга, участвуют 120 игроков. На основании данных этого эксперимента, сколько игроков могут быть левшой?

Решение

a)Число людей, являющиеся правшами, составляет 82, количество левшей составляет 17, а число тех, кто одинаково свободно владеет двумя руками - 1. Общее количество наблюдений - 100. Таким образом, вероятность того, что человек правша, есть Р
P = 82/100, или 0,82, или 82%.

b) Вероятность того, что человек левша, есть Р, где
P = 17/100, или 0,17, или 17%.

c) Вероятность того, что человек одинаково свободно владеет двумя руками составляет P, где
P = 1/100, или 0,01, или 1%.

d) 120 игроков в боулинг, и из (b) мы можем ожидать, что 17% - левши. Отсюда
17% от 120 = 0,17.120 = 20,4,
то есть мы можем ожидать, что около 20 игроков являются левшами.

Пример 2 Контроль качества . Для производителя очень важно держать качество своей продукции на высоком уровне. На самом деле, компании нанимают инспекторов контроля качества для обеспечения этого процесса. Целью является выпуск минимально возможного количества дефектных изделий. Но так как компания производит тысячи изделий каждый день, она не может позволить себе проверять каждое изделие, чтобы определить, бракованное оно или нет. Чтобы выяснить, какой процент продукции являются дефектным, компания проверяет гораздо меньше изделий.
Министерство сельского хозяйства США требует, чтобы 80% семян, которые продают производители, прорастали. Для определения качества семян, которые производит сельхозкомпания, высаживается 500 семян из тех, которые были произведены. После этого подсчитали, что 417 семян проросло.

a) Какова вероятность того, что семя прорастет?

b) Отвечают ли семена государственным стандартам?

Решение a) Мы знаем, что из 500 семян, которые были высажены, 417 проросли. Вероятность прорастания семян Р, и
P = 417/500 = 0,834, или 83.4%.

b) Так как процент проросших семян превысил 80% по требованию, семена отвечают государственным стандартам.

Пример 3 Телевизионные рейтинги. Согласно статистических данных, в Соединенных Штатах 105 500 000 домохозяйств с телевизорами. Каждую неделю, информация о просмотре передач собирается и обрабатывается. В течение одной недели 7815000 домохозяйств были настроены на популярный комедийный сериал "Все любят Реймонда" на CBS и 8302000 домохозяйств были настроены на популярный сериал «Закон и порядок» на NBC (Источник: Nielsen Media Research). Какова вероятность того, что телевизор одного дома настроен на «Everybody Loves Raymond" в течение данной недели? на «Закон и порядок»?

Решениеn Вероятность того, что телевизор в одном домохозяйстве настроен на "Все любят Реймонда" равна Р, и
P = 7,815,000/105,500,000 ≈ 0,074 ≈ 7,4%.
Возможность, что телевизор домохозяйства был настроен на «Закон и порядок» составляет P, и
P = 8,302,000/105,500,000 ≈ 0,079 ≈ 7,9%.
Эти проценты называются рейтингами.

Теоретическая вероятность

Предположим, что мы проводим эксперимент, такие, как бросание монетки ли дротиков, вытаскивание карты из колоды, или проверка изделий на качество на сборочной линии. Каждый возможный результат такого эксперимента называется исход . Множество всех возможных исходов называется пространством исходов . Событие это множество исходов, то есть подмножество пространства исходов.

Пример 4 Бросание дротиков. Предположим, что в эксперименте «метание дротиков» дротик попадает в мишень. Найдите каждое из нижеследующих:

b) Пространство исходов

Решение
a) Исходы это: попадание в черное (Ч), попадание в красное (К) и попадание в белое (Б).

b) Пространство исходов есть {попадание в черное, попадание в красное, попадание в белое}, которое может быть записано просто как {Ч, К, Б}.

Пример 5 Бросание игральных костей. Игральная кость это куб с шестью гранями, на каждой их которых нарисовано от одной до шести точек.


Предположим, что мы бросаем игральную кость. Найдите
a) Исходы
b) Пространство исходов

Решение
a) Исходы: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Пространство исходов {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Мы обозначаем вероятность того, что событие Е случается в качестве Р (Е). Например, "монета упадет решкой" можно обозначать H. Тогда Р (Н) представляет собой вероятность того, монета упадет решкой. Когда все исходы эксперимента имеют одинаковую вероятность появления, говорят, что они равновероятны. Чтобы увидеть различия между событиями, которые равновероятны, и неравновероятными событиями, рассмотрим мишень, изображенную ниже.

Для мишени A, события попадания в черное, красное и белое равновероятны, так как черные, красные и белые сектора - одинаковые. Однако, для мишени B зоны с этими цветами не одинаковы, то есть попадание в них не равновероятно.

Принцип P (Теоретический)

Если событие E может случиться m путями из n возможных равновероятных исходов из пространства исходов S, тогда теоретическая вероятность события, P(E) составляет
P(E) = m/n.

Пример 6 Какая вероятность выкинуть 3, бросив игральный кубик?

Решение На игральном кубике 6 равновероятных исходов и существует только одна возможность выбрасивания цифры 3. Тогда вероятность P составит P(3) = 1/6.

Пример 7 Какая вероятность выбрасывания четной цифры на игральном кубике?

Решение Событие - это выбрасывание четной цифры. Это может случиться 3 способами (если выпадет 2, 4 или 6). Число равновероятных исходов равно 6. Тогда вероятность P(четное) = 3/6, или 1/2.

Мы будем использовать ряд примеров, связанных со стандартной колодой из 52 карт. Такая колода состоит из карт, показанных на рисунке ниже.

Пример 8 Какая вероятность вытянуть туза из хорошо перемешанной колоды карт?

Решение Существует 52 исхода (количество карт в колоде), они равновероятны (если колода хорошо перемешана), и есть 4 способа вытянуть туза, поэтому согласно принципу P, вероятность
P(вытягивания туза) = 4/52, или 1/13.

Пример 9 Предположим, что мы выбираем не глядя, один шарик из мешка с 3-мя красными шариками и 4-мя зелеными шариками. Какова вероятность выбора красного шарика?

Решение Существует 7 равновероятных исходов достать любой шарик, и так как число способов вытянуть красный шарик равно 3, получим
P(выбора красного шарика) = 3/7.

Следующие утверждения - это результаты из принципа P.

Свойства вероятности

a) Если событие E не может случиться, тогда P(E) = 0.
b) Если событие E случиться непременно тогда P(E) = 1.
c) Вероятность того, что событие Е произойдет это число от 0 до 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Например, в бросании монеты, событие, когда монета упадет на ребро имеет нулевую вероятность. Вероятность того, что монета либо на орел или решку имеет вероятность 1.

Пример 10 Предположим, что вытягиваются 2 карты из колоды с 52-мя картами. Какова вероятность того, что обе из них пики?

Решение Число путей n вытягивания 2 карт из хорошо перемешанной колоды с 52 картами есть 52 C 2 . Так как 13 из 52 карт являются пиками, число способов m вытягивания 2-х пик есть 13 C 2 . Тогда,
P(вытягивания 2-х пик)= m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.

Пример 11 Предположим, что 3 человека выбираются случайно из группы, состоящей из 6-ти мужчин и 4-х женщин. Какова вероятность того, что будут выбраны 1 мужчина и 2 женщины?

Решение Число способов выбора троих человек из группы 10 человек 10 C 3 . Один мужчина может быть выбран 6 C 1 способами, и 2 женщины могут быть выбраны 4 C 2 способами. Согласно фундаментальному принципу подсчета, число способов выбора 1-го мужчины и 2-х женщин 6 C 1 . 4 C 2 . Тогда, вероятность что будет выбраны 1-го мужчины и 2-х женщин есть
P = 6 C 1 . 4 C 2 / 10 C 3 = 3/10.

Пример 12 Бросание игральных кубиков. Какая вероятность выбрасывания в сумме 8 на двух игральных кубиках?

Решение На каждом игральном кубике есть 6 возможных исходов. Исходы удваиваются, то есть существует 6.6 или 36 возможных способа, в котором могут выпасть цифры на двух кубиках. (Лучше, если кубики разные, скажем один красный а второй голубой - это поможет визуализировать результат.)

Пары цифр, в сумме составляющие 8, показаны на рисунке внизу. Есть 5 возможных способов получения суммы, равной 8, отсюда вероятность равна 5/36.