Войти забыли пароль? Теория вероятностей в жизни Применение вероятности.

Теория вероятностей - это математическая наука, изучающая закономерности в массовых случайных явлениях.

До появления теории вероятностей как общепризнанной теории в науке господствовал детерминизм, согласно которому осуществление определенного комплекса условий однозначно определяет результат. Классическим примером является механика. Например, на основании законов небесной механики по известному в некоторый момент положению планет Солнечной системы могут быть очень точно предсказаны солнечные и лунные затмения. Подобные законы называются детерминированными законами.

Однако практика показала, что этот подход далеко не всегда применим. Не все явления макромира поддаются точному предсказанию, несмотря на то, что наши знания о нем непрерывно уточняются и углубляются. Еще менее детерминированы законы и закономерности микромира.

Математические законы теории вероятностей отражают реальные статистические законы, объективно существующие в массовых случайных явлениях.

Теория вероятностей развивалась вначале как прикладная дисциплина. В связи с этим ее понятия и выводы имели окраску тех областей знаний, в которых они были получены.

В работах Б.В. Гнеденко, Л.Е. Майстрова, А.Н. Колмогорова представлены основные этапы развития теории вероятностей. Для краткости приведем их в виде таблицы.

Таблица 1

Этапы развития теории вероятностей

Название этапа	Основные понятия	Источники становления и развития
Предыстория теории вероятностей, до конца XVI века	Равновозможные (равновероятные) исходы, принцип - «не более так, чем иначе», вероятностное знание, вероятностные рассуждения	Решение элементарных задач, философия, азартные игры
Возникновение теории вероятностей как науки, с XVII века до начала XVIII века.	Количественная оценка возможности наступления случайного события, представления о частоте события, математическом ожидании и о теоремах сложения и умножения, формулы комбинаторики	Демография, страховое дело, оценка ошибок наблюдения.
Период формирования основ теории вероятностей, с 1713 г. до середины XIX века	Классическое и статистическое определения вероятности, геометрические вероятности, теоремы сложения и умножения вероятностей, закон больших чисел, математическое ожидание, формула Бернулли, теорема Бейеса, случайная величина	Демография, страховое дело, оценка ошибок наблюдения, естествознание
Русская - Петербургская школа, со второй половины XIX века до XX века	Предельные теоремы, теория случайных процессов, обобщение закона больших чисел, метод моментов	Контроль качества продукции, естествознание т.д.
Современный этап развития теории вероятностей, XX - XXI века	Аксиоматическое построение теории вероятностей, частотная интерпретация вероятности, стационарные случайные процессы, и т.д.	Внутренние потребности самой математики, статистическая физика, теория информации, теория случайных процессов, астрономия, биология, генетика, и т.д.

Представленные в таблице источники становления отражают потребности практики, которые стали толчком к развитию теории вероятностей.

Философия к 17 веку накопила довольно богатый материал, который оказал влияние на зарождение и первый период развития теории вероятностей. Главным же источником зарождения теории вероятностей является практика. Необходимость создания математического аппарата для анализа случайных явлений, вытекала из потребностей обработки и обобщения статистического материала. Однако теория вероятностей сформировалась, не только на материале практических задач: эти задачи слишком сложны. Более простым и удобным материалом для изучения закономерностей случайных явлений оказались азартные игры. На базе азартных игр наряду с основными понятиями развивались и методы теории вероятностей.

Зарождение теории вероятностей началось с того, что придворный французского короля, шевалье (кавалер) де Мере (1607-1648), сам азартный игрок, обратился к французскому физику, математику и философу Блезу Паскалю (1623-1662) с вопросами к задаче об очках. До нас дошли два знаменитых вопроса де Мере к Паскалю: 1) сколько раз надо бросить две игральные кости, чтобы случаев выпадения сразу двух шестерок было больше половины от общего числа бросаний; 2) как справедливо разделить поставленные на кон деньги, если игроки прекратили игру преждевременно? Паскаль обратился к математику Пьеру Ферма (1601-1665) и переписывался с ним по поводу этих задач. Они вдвоем установили некоторые исходные положения теории вероятностей, в частности пришли к понятию математического ожидания и теоремам сложения и умножения вероятностей.

Непосредственное практическое применение вероятностные методы нашли, прежде всего, в задачах страхования. С тех пор теория вероятностей находит все более широкое применение в различных областях.

Первооткрывателями теории вероятностей считаются французские ученые Б.Паскаль и П.Ферма и голландский ученый Х.Гюйгенс (1629-1695). Стала зарождаться новая наука, вырисовываться ее специфика и методология: определения, теоремы, методы.

Крупный шаг в развитии теории вероятностей связан с работами Якова Бернулли (1654?1705). Ему принадлежит первое доказательство одного из важнейших положений теории вероятностей? закона больших чисел. Еще до Якова Бернулли многие отмечали как эмпирический факт ту особенность случайных явлений, которую называют «свойством устойчивости частот при большом числе опытов». Было неоднократно отмечено, что при большом числе опытов, исход каждого из которых является случайным, относительная частота появления данного исхода имеет тенденцию стабилизироваться, приближаясь к некоторому определенному числу?вероятности этого исхода. Яков Бернулли впервые дал теоретическое обоснование этому эмпирическому факту. Теорема Якова Бернулли? простейшая форма закона больших чисел? устанавливает связь между вероятностью события и частотой его появления; при достаточно большом числе опытов можно с практической достоверностью ожидать сколь угодно близкого совпадения частоты с вероятностью.

Другой важный этап в развитии теории вероятностей связан с именем Моавра (1667?1754). Этот ученый впервые ввел в рассмотрение и для простейшего случая обосновал закон, очень часто наблюдаемый в случайных явлениях: так называемый нормальный закон (закон Гаусса).

Нормальный закон играет исключительно важную роль в случайных явлениях. Теоремы, обосновывающие этот закон для тех или иных условий, носят в теории вероятностей общее название «центральной предельной теоремы».

Стройное и систематическое изложение основ теории вероятностей впервые дал знаменитый математик Лаплас (1749?1827). Он доказал одну из форм центральной предельной теоремы (теоремы Моавра? Лапласа) и развил ряд замечательных приложений теории вероятностей к вопросам практики, в частности, к анализу ошибок наблюдений и измерений.

Значительный шаг вперед в развитии теории вероятностей связан с именем Гаусса (1777?1855), который дал еще более общее обоснование нормальному закону и разработал метод обработки экспериментальных данных, известный под названием «метода наименьших квадратов».

Следует отметить работы Пуассона (1781?1840), доказавшего более общую, чем у Якова Бернулли, форму закона больших чисел, а также впервые применившего теорию вероятностей к задачам стрельбы. С именем Пуассона связан один из законов распределения, играющий большую роль в теории вероятностей и ее приложениях.

Для всего XVIII и начала XIX века характерны бурное развитие теории вероятностей и повсеместное увлечение ею. Теория вероятностей становится «модной» наукой. Ее начинают применять не только там, где применение правомерно, но и там, где оно ничем не оправдано.

Для этого периода характерны многочисленные попытки применить теорию вероятностей к изучению общественных явлений, к так называемым «моральным» или «нравственным» наукам. Во множестве появились работы, посвященные вопросам судопроизводства, истории, политики, даже богословия, в которых применялся аппарат теории вероятностей. Для всех этих псевдонаучных исследований характерен чрезвычайно упрощенный, механический подход к рассматриваемым в них общественным явлениям. В основу рассуждения полагаются некоторые произвольно заданные вероятности (например, при рассмотрении вопросов судопроизводства склонность каждого человека к правде или лжи оценивается некоторой постоянной, одинаковой для всех людей вероятностью), и далее общественная проблема решается как простая арифметическая задача.

Естественно, что все подобные попытки были обречены на неудачу и не могли сыграть положительной роли в развитии науки. Напротив, их косвенным результатом оказалось то, что примерно в двадцатых? тридцатых годах XIX века в Западной Европе повсеместное увлечение теорией вероятностей сменилось разочарованием и скептицизмом. На теорию вероятностей стали смотреть как на науку сомнительную, второсортную, род математического развлечения, вряд ли достойный серьезного изучения.

Замечательно, что именно в это время в России создается та знаменитая Петербургская математическая школа, трудами которой теория вероятностей была поставлена на прочную логическую и математическую основу и сделана надежным, точным и эффективным методом познания. Со времени появления этой школы развитие теории вероятностей уже тесным образом связано работами русских, а в дальнейшем? советских ученых.

Среди ученых Петербургской математической школы следует назвать В. Я. Буняковского (1804?1889) ? автора первого курса теории вероятностей на русском языке, создателя современной русской терминологии в теории вероятностей, автора оригинальных исследований в области статистики и демографии.

Учеником В. Я. Буняковского был великий русский математик П. Л. Чебышев (1821?1894), которому принадлежит дальнейшее расширение и обобщение закона больших чисел. Кроме того, П. Л. Чебышев ввел в теорию вероятностей весьма мощный и плодотворный метод моментов.

Учеником П. Л. Чебышева был А. А. Марков (1856?1922), который существенно расширил область применения закона больших чисел и центральной предельной теоремы, распространив их не только на независимые, но и на зависимые опыты. Важнейшей заслугой А. А. Маркова явилось то, что он заложил основы совершенно новой ветви теории вероятностей? теории случайных, или «стохастических», процессов. Развитие этой теории составляет основное содержание новейшей, современной теории вероятностей.

Учеником П. Л. Чебышева был и А. М. Ляпунов (1857?1918), с именем которого связано первое доказательство центральной предельной теоремы при чрезвычайно общих условиях. Для доказательства своей теоремы А. М. Ляпунов разработал специальный метод характеристических функций, широко применяемый в современной теории вероятностей.

Характерной особенностью работ Петербургской математической школы была исключительная четкость постановки задач, полная математическая строгость применяемых методов и наряду с этим тесная связь теории с непосредственными требованиями практики. Трудами ученых Петербургской математической школы теория вероятностей была выведена с задворков науки и поставлена как полноправный член в ряд точных математических наук. Условия применения ее методов были строго определены, а самые методы доведены до высокой степени совершенства.

Советская школа теории вероятностей, унаследовав традиции Петербургской математической школы, занимает в мировой науке ведущее место. Назовем только некоторых крупнейших советских ученых, труды которых сыграли решающую роль в развитии современной теории вероятностей и ее практических приложений.

С. Н. Бернштейн разработал первую законченную аксиоматику теории вероятностей, а также существенно расширил область применения предельных теорем.

А. Я. Хинчин (1894?1959) известен своими исследованиями в области дальнейшего обобщения и усиления закона больших чисел, но главным образом своими исследованиями в области стационарных случайных процессов.

Ряд важнейших основополагающих работ в различных областях теории вероятностей и математической статистики принадлежит А. Н. Колмогорову. Он дал наиболее совершенное аксиоматическое построение теории вероятностей, связав ее с одним из важнейших разделов современной математики? метрической теорией функций. Особое значение работы А. Н. Колмогорова имеют в области теории случайных функций (стохастических процессов), которые в настоящее время являются основой всех исследований в данной области. Работы А. Н. Колмогорова, относящиеся к оценке эффективности легли в основу целого нового научного направления в теории стрельбы, переросшего затем в более широкую науку об эффективности боевых действий.

В. И. Романовский и Н. В. Смирнов известны своими работами в области математической статистики, Е. Е. Слуцкий? в теории случайных процессов, Б. В. Гнеденко? в области теории массового обслуживания, Е. Б. Дынкин? в области марковских случайных процессов, В. С. Пугачев? в области случайных процессов в применении к задачам автоматического управления.

Развитие зарубежной теории вероятностей в настоящее время также идет усиленными темпами в связи с настоятельными требованиями практики. Преимущественным вниманием пользуются, как и у нас, вопросы, относящиеся к случайным процессам. Значительные работы в этой области принадлежат Н. Винеру, В. Феллеру, Д. Дубу. Важные работы по теории вероятностей и математической статистике принадлежат Р. Фишеру, Д. Нейману и Г. Крамеру.

Теория вероятностей, подобно другим разделам математики, развилась из потребностей практики, и абстрактно она отражает закономерности в массовых случайных событиях. Эти закономерности играют очень важную роль в различных областях естествознания, медицине, технике, экономике, военном деле. Многие разделы теории вероятностей были развиты благодаря запросам практики.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Представленный материал рассчитан на студентов, знакомящихся с вероятностными методами описания и анализа случайных явлений, которые составляют основу математических моделей общетехнического курса «Надежность технических систем».

II.1. Применение теории вероятностей в технике

Теория вероятностей необходима при решении многих технических задач.

Особенность теории вероятностей состоит в том, что она рассматривает явления, где в той или иной форме присутствует неопределенность. Поэтому существует представление, что вероятностные методы решения практических задач считаются менее предпочтительными, чем «точный» анализ, т. к. обращаться к этим методам вынуждает якобы отсутствие достаточно полной информации. Кроме того, многие считают теорию вероятностей загадочной областью математической науки.

Представленные мнения неверны. Во-первых, вряд ли есть еще хотя бы одна область математики, которая с такой полнотой базируется на столь ограниченном наборе исходных представлений (всего три аксиомы, которые почти очевидны). Во-вторых, догматическое стремление представить физические законы детерминистическими и справедливыми при любых обстоятельствах. Безусловно, нельзя отрицать закон Ома, однако на микро уровне происходящих процессов он не выполняется – факт, который очевиден любому, кто когда-нибудь подключал резистор большого номинала к входу усилителя с высоким коэффициентом усиления и слышал шумы, появляющиеся в результате этого на выходе.

Итак, в лучшем случае, непреложные законы отражают «поведение» природы, так сказать, «в среднем». Во многих ситуациях такое «среднее поведение» достаточно близко к тому, что наблюдается на практике, и имеющимися отклонениями можно пренебречь. В других, не менее важных ситуациях, случайные отклонения могут оказаться значительными, что требует использования аналитических методов, построенных на вероятностных концепциях.

Поэтому становится ясным, что так называемое «точное решение» вовсе не всегда является точным и, более того, представляет собой идеализированный частный случай, который на практике почти не встречается. С другой стороны, вероятностный подход – далеко не худшая замена точным методам решения и наиболее полно отражает физическую реальность. Кроме того, он включает в себя результат детерминистического подхода в качестве частного случая.

Теперь имеет смысл описать в общем типы ситуаций, в которых применение вероятностных методов расчета при решении практических задач скорее является правилом, чем исключением.

Случайные параметры систем. В ряде случаев те или иные параметры системы могут быть неизвестны или изменяться случайным образом. Типичными примерами таких систем являются электроэнергетические сети, нагрузки которых непредсказуемы и варьируются в широких пределах; телефонные системы, число пользователей которых случайным образом меняется во времени; электронные системы, параметры которых носят случайный характер, из-за того, что характеристики полупроводниковых приборов устанавливаются диапазоном возможных значений.

Надежность систем. В состав любой технической системы входит большое количество различных элементов, отказ одного или нескольких из них может вызвать выход из строя всей системы. По мере усложнения и повышения стоимости систем на стадии конструирования возникает задача синтеза логических структурных схем надежности и оптимизации безотказности.

Контроль качества и диагностика. Повышение потребительских свойств и конкурентоспособности продукции может быть достигнуто выходным контролем и диагностикой в процессе эксплуатации. Для этого требуются правила проверки отдельных случайно выбранных элементов, вероятностные методы распознавания дефектов и прогнозирования работоспособности.

Теория информации. Количественная мера информационного содержания различных сообщений: численные и графические данные, технические измерения носят вероятностный характер. Кроме того, пропускная способность каналов связи зависит от случайных шумовых воздействий.

Из краткого перечисления ясно, что при решении большого числа технических задач приходится встречаться с неопределенностью, а это делает теорию вероятностей необходимым инструментом современного инженера.

II.2. Основные понятия

II.2. 1. Основы теории множеств.

Теория вероятностей - математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. Одним из основных понятий является понятие случайного события (в дальнейшем просто событие).

Событием называется всякий факт (исход), который в результате опыта (испытания, эксперимента) может произойти или не произойти. Каждому из таких событий можно поставить в соответствие определенное число, называемое его вероятностью и являющееся мерой возможного совершения этого события.

Современное построение теории вероятностей основывается на аксиоматическом подходе и опирается на элементарные понятия теории множеств.

Множество – это любая совокупность объектов произвольной природы, каждый из которых называется элементом множества. Множества обозначаются по-разному: или одной большой буквой или перечислением его элементов, данным в фигурных скобках, или указанием (в тех же фигурных скобках) правила, по которому элемент относится к множеству. Например, конечное множество М натуральных чисел от 1 до 100 может быть записано в виде

М = {1, 2, …,100} = {i - целое; 1 i 100}.

Предположим, что производится некоторый опыт (эксперимент, испытание), результат которого заранее неизвестен, случаен. Тогда множество всех возможных исходов опыта представляет пространство элементарных событий, а каждый его элемент (один отдельный исход опыта) является элементарным событием. Любой набор элементарных событий (любое их сочетание) считается подмножеством (частью) множества и является случайным событием, т. е. любое событие А – это подмножество множества : А . Например, пространство элементарных событий при бросании игральной кости составляет шесть возможных исходов = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. С учетом пустого множества , которое вообще не содержит элементов, в пространстве может быть выделено в общей сложности 2 6 = 64 подмножества:

; {1}; … ; {6}; {1, 2}; … ; {5, 6}; {1, 2, 3}; … ; .

В общем случае, если множество содержит n элементов, то в нем можно выделить 2 n подмножеств (событий).

Рассматривая событие (ведь каждое множество есть свое собственное подмножество), можно отметить, что оно является достоверным событием, т. е. осуществляется при любом опыте. Пустое множество как событие является невозможным , т. е. при любом опыте заведомо не может произойти. Для предыдущего примера: достоверное событие = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = {выпадение одного из шести очков}; невозможное событие = {7} = {выпадение 7 очков при одном бросании игральной кости}.

Совместные (несовместные) события – такие события, появление одного из которых не исключает (исключает) возможности появления другого.

Зависимые (независимые) события – такие события, появление одного из которых влияет (не влияет) на появление другого события.

Противоположное событие относительно некоторого выбранного события А – событие, состоящее в не появлении этого выбранного события (обозначается ).

Полная группа событий – такая совокупность событий, при которой в результате опыта должно произойти хотя бы одно из событий этой совокупности. Очевидно, что события А и составляют полную группу событий.

Одна из причин применения теории множеств в теории вероятностей заключается в том, что для множеств определены важные преобразования, которые имеют простое геометрическое представление и облегчающее понимание смысла этих преобразований. Оно носит название диаграммы Эйлера-Венна, и на ней пространство изображается в виде прямоугольника, а различные множества – в виде плоских фигур, ограниченных замкнутыми линиями. Пример диаграммы, иллюстрирующей включение множеств C B А , приведен на рис. 1.

Видно, что B является подмножеством А , а C – подмножеством B (и одновременно подмножеством А ).

II.2. 2. Алгебра событий.

В прикладных задачах основными являются не прямые, а косвенные методы вычисления вероятностей интересующих нас событий через вероятности других, с ними связанных. Для этого нужно уметь выражать интересующие нас события через другие, т. е. использовать алгебру событий.

Отметим, что все вводимые ниже понятия справедливы тогда, когда события о которых идет речь, представляют собой подмножества одного и того же пространства элементарных событий .

Сумма или объединение событий А 1 , А 2 , …, Аn – такое событие А , появление которого в опыте эквивалентно появлению в том же опыте хотя бы одного из событий А 1 , А 2 , …, Аn . Сумма обозначается:

где - знак логического сложения событий, - знак логической суммы событий.

Произведение или пересечение событий А 1 , А 2 , …, Аn – такое событие А , появление которого в опыте эквивалентно появлению в том же опыте всех событий А 1 , А 2 , …, Аn одновременно. Произведение обозначается

где - знак логического умножения событий, - знак логического произведения событий.

Операции сложения и умножения событий обладают рядом свойств, присущих обычным сложению и умножению, а именно: переместительным, сочетательным и распределительным свойствами, которые очевидны и не нуждаются в пояснении.

Диаграммы Эйлера-Венна для суммы (а) и произведения (б) двух событий А 1 и А 2 приведены на рис. 2.

Суммой (объединением) событий А 1 и А 2 является событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий (заштрихованная область на рис. 2, а). Произведение событий А 1 и А 2 это событие, состоящее в совместном выполнении обоих событий (заштрихованное пересечение событий А 1 и А 2 – рис. 2, б).

Из определения суммы и произведения событий следует, что

А = А А; А = А ; = А ;
А = АА ; = А ; А = А .

Если события Аi (i=1, … , n ) или { Аi } n i=1 составляют полную группу событий, то их сумма есть достоверное событие

Изображение противоположного события приведено на рис. 3. Область дополняет А до полного пространства . Из определения противоположного события следует, что

поясняемых рис. 4.

II.2. 3. Аксиомы теории вероятностей

Сопоставим каждому событию А число, называемое, как и прежде, его вероятностью и обозначаемое P(A) или P{A}. Вероятность выбирают так, чтобы она удовлетворяла следующим условиям или аксиомам:

P( ) = 1; P( ) = 0.

P( ) P(A) P( ).

Если Ai и Aj несовместные события, т. е. Ai Aj = , то

С помощью аксиом можно вычислить вероятности любых событий (подмножеств пространства ) с помощью вероятностей элементарных событий. Вопрос о том, как определить вероятности элементарных событий, является риторическим. На практике они определяются либо из соображений, связанных с возможными исходами опыта (например, в случае бросания монеты естественно считать вероятности выпадения орла или решки одинаковыми), или на основе опытных данных (частот).

Последний подход широко распространен в прикладных инженерных задачах, поскольку позволяет косвенно соотнести результаты анализа с физической реальностью.

Предположим, что в опыте пространство можно представить в виде полной группы несовместных и равновозможных событий А 1 , А 2 , …, Аn . Согласно (3) их сумма представляет достоверное событие:

так как события А 1 , А 2 , …, Аn несовместны, то согласно аксиомам (6) и (9):

= P() = 1.

Поскольку события А 1 , А 2 , …, Аn равновозможны, то вероятность каждого из них одинакова и равна

Отсюда непосредственно получается частотное определение вероятности любого события A:

как отношение числа случаев (m A ), благоприятных появлению события А , к общему числу случаев (возможному числу исходов опыта) n .

Совершенно очевидно, что частотная оценка вероятности есть не что иное как следствие аксиомы сложения вероятностей. Представив, что число n неограниченно возрастает, можно наблюдать явление, называемое статистическим упорядочением, когда частота события А все меньше изменяется и приближается к какому-то постоянному значению, которое и представляет вероятность события А .

II.2. 4. Основные правила теории вероятностей

Вероятности сложных событий можно вычислять с помощью вероятностей более простых, пользуясь основными правилами (теоремами): сложения и умножения вероятностей.

II.2.4.1. Теорема сложения вероятностей.

Если А 1 , А 2 , …, Аn - несовместные события и А – сумма этих событий, то вероятность события А равна сумме вероятностей событий А 1 , А 2 , …, Аn :

Чтобы сформулировать в общем случае теорему умножения вероятностей, введем понятие условной вероятности.

Условная вероятность события А 1 при наступлении события А 2 – вероятность события А 1 , вычисленная в предположении, что событие А 2 произошло:

Для любого конечного числа событий теорема умножения имеет вид

а для конечного числа n независимых событий

Следствием правил сложения и умножения вероятностей является теорема о повторении опытов (схема Бернулли): опыты считаются независимыми, если вероятность того или иного исхода каждого из них не зависит от того, какие исходы имели другие опыты.

Пусть в некотором опыте вероятность события А равна P(А) = p, а вероятность того, что оно не произойдет P( ) = q, причем, согласно (13)

P (A ) + P () = p + q = 1

Если проводится n независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью p, то вероятность того, что в данной серии опытов событие А появляется ровно m раз, определяется по выражению

где - биномиальный коэффициент.

Например, вероятность однократной ошибки при чтении 32-разрядного слова в формате ЭВМ, представляющего комбинацию 0 и 1, при вероятности ошибки чтения двоичного числа p = 10 -3 , составляет по (19)

где q = 1- p = 0,999; n = 32; m = 1.

Вероятность отсутствия ошибки чтения при m = 0, C 0 32 = 1

Часто возникают задачи определения вероятностей того, что некоторое событие А произойдет по меньшей мере m раз или не более m раз. Подобные вероятности определяются сложением вероятностей всех исходов, которые составляют рассматриваемое событие.

Расчетные выражения для такого типа ситуаций имеют вид:

где P n (i) определяется по (19).

При больших m вычисление биномиальных коэффициентов C n m и возведение в большие степени p и q связано со значительными трудностями, поэтому целесообразно применять упрощенные способы расчетов. Приближение, называемое теоремой Муавра-Лапласа , используется, если npq>>1 , а |m-np|<(npq) 0,5 , в таком случае выражение (19) записывается:

II.2. 5. Формула полной вероятности и формула Байеса (формула вероятностей гипотез)

В практике решения большого числа задач формула полной вероятности (ФПВ) и формула Байеса, являющиеся следствием основных теорем, находят широкое применение.

II.2.5.1.Формула полной вероятности.

Если по результатам опыта можно сделать n исключающих друг друга предположений (гипотез) H 1 , H 2 , … H n , представляющих полную группу несовместных событий (для которой ), то вероятность события А , которое может появиться только с одной из этих гипотез, определяется:

P(A) = P(Hi ) P(A Hi ),

где P(Hi) – вероятность гипотезы Hi ;

P(А| Hi) – условная вероятность события А при гипотезе Hi.

Поскольку событие А может появиться с одной из гипотез H 1 , H 2 , … H n , то А = АH 1 H 2 … АH n , но H 1 , H 2 , … H n несовместны, поэтому

В виду зависимости события А от появления события (гипотезы) Hi

P(AHi) = P(Hi)· P(А| Hi) , откуда и следует выражение (21).

II.2.5.2. Формула Байеса (формула вероятностей гипотез).

Если до опыта вероятности гипотез H 1 , H 2 , … H n были равны P(H 1 ), P(H 2 ), …, P(Hn) , а в результате опыта произошло событие А , то новые (условные) вероятности гипотез вычисляются:

Доопытные (первоначальные) вероятности гипотез P(H 1 ), P(H 2 ), …, P(Hn) называются априорными , а послеопытные - P(H 1 | А), … P(Hn| А) – апостериорными .

Формула Байеса позволяет «пересмотреть» возможности гипотез с учетом полученного результата опыта.

Доказательство формулы Байеса следует из предшествующего материала. Поскольку P(Hi А) = P(Hi) P(А| Hi) = P(Hi) P(Hi| А): . Более подробный материал из теории вероятностей читатель может получить в Приложении: «Основные понятия и краткие сведения из теории вероятностей» . 2. Основные сведения о математических моделях расчета в теории вероятностей ...

Учебное пособие

сведений о социально- ... теории измерений. Обычно из теории идет речь. Краткая история теории ... продвижение. Перейдем к основному понятию теории вероятностей – понятию вероятности события. В...

Теория принятия решений учебное пособие - м издательство " март" 2004

Учебное пособие

Информация – совокупность сведений о социально- ... теории измерений. Обычно из контекста понятно, о какой конкретно теории идет речь. Краткая история теории ... продвижение. Перейдем к основному понятию теории вероятностей – понятию вероятности события. В...

ОСНОВНЫЕ НАУЧНЫЕ РАЗРАБОТКИ (2)

Документ

В учебном пособии кратко изложены с позиций функциональной... терминов и понятий , список рекомендуемой... пособии в представлены основные факты и теории основных направлений и разделов... комбинаторики, начальные сведения из теории вероятностей , неравенства с...

П Р О Г Р А М М А вступительных экзаменов в аспирантуру по специальности 25 00 16 «Горнопромышленная и нефтегазопромысловая геология геофизика маркшейдерское дело и геометрия недр»

Автореферат диссертации

4. Корреляционные характеристики геофизических полей Основные понятия теории случайных процессов. Математическое ожидание, ... интерполяции и сплайн интерполяции. 4. Краткие сведения из теории вероятности и математической статистики. Случайные события. ...

Выходные данные сборника:

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ В СТОИТЕЛЬСТВЕ

Каверин Александр Владиславович

студент Чайковского технологического института (филиал) Ижевского государственного технического университета имени М.Т. Калашникова, РФ, Пермский край, г. Чайковский

Е- mail : AleksVKaverin @ yandex . ru

Морозова Амина Рафкатовна

канд. техн. наук, доцент кафедры «Технологии и организация строительного производства» Чайковского технологического института (филиал) Ижевского государственного технического университета имени М.Т. Калашникова , РФ , Пермский край , г . Чайковский

USING OF PROBABILITY THEORY AND MATHEMATICAL STATISTICS IN THE CONSTRUCTION

Kaverin Aleksandr

student of Chaykovsky

Morozova Amina

candidate of Science, docent of Chaykovsky Institute of Technology (branch) Kalashnikov Izhevsk State Technical University, Russia, Perm Krai, Chaykovsky

АННОТАЦИЯ

Рассмотрена необходимость изучения математической статистики и теории вероятности и основные направления применения этих разделов математики в профессиональной деятельности студентов, обучающихся по направлению «Строительство».

ABSTRACT

The need to study of mathematical statistics and probability theory and basic direction of application of these sections of mathematics in professional activities of students enrolled in the direction of the construction were examined.

Ключевые слова: теория вероятности; математическая статистика; статистика в строительстве.

Keywords: probability theory; mathematical statistics; statistics in construction.

Целью дисциплины «Математика» является научить обучающихся математическому подходу к анализу прикладных (экономических) задач, а также математическим методам исследования и решения таких задач. Для каждого направления обучения существуют свои прикладные задачи. Область профессиональной деятельности бакалавров по направлению 08.03.01 «Строительство» включает: инженерные изыскания, проектирование, возведение, эксплуатацию, оценку и реконструкцию зданий и сооружений; инженерное обеспечение и знание оборудования строительных объектов и городских территорий; применение машин, оборудования и технологий для строительства и производства строительных материалов, изделий и конструкций . Поэтому одной из задач изучения дисциплины «Математика» для будущих строителей является - ориентация на использование математических методов при решении прикладных задач, возникающих в их профессиональной деятельности. Наглядные примеры применения математических методов при решении конкретных задач всегда стимулируют интерес у учащихся. Связь абстрактных чисел и решений с конкретной проблемой и реальной задачей доступней для понимания.

Показать возможность применения и необходимость изучения некоторых разделов математики легко без особых затрат времени на объяснения. Например, то, что дифференциальные вычисления используются, для нахождения скорости и ускорения, а интегральные вычисления - для нахождения площадей. Но есть разделы математики, которые изучаются без наглядной демонстрации применения законов и формул в силу отсутствия времени на объяснения, или недостаточного владения учащимися материалом по другим дисциплинам, в которых применение соответствующих математических методов возможно и необходимо. К одному из таких разделов можно отнести теорию вероятности и математическую статистику.

У студентов, обучающихся по специальности «Экономика и управление на предприятии (в строительстве)» есть дисциплина «Математическая статистика». Можно встретить много примеров применения статистических методов в экономике строительного комплекса нашей страны . Поэтому складывается впечатление, что статистика - это прежде всего удел экономистов и управленцев. Для чего же нужна статистика простым строителям? Давайте же разберемся, что это за раздел математики, и как он применяется при решении профессиональной деятельности бакалавров по направлению 270800 «Строительство».

Математическая статистика - это наука, разрабатывающая математические методы систематизации и использования статических данных для научных и практических выводов. Математическая статистика в большинстве своих разделов опирается на теорию вероятностей, позволяющую оценить надёжность и точность выводов, делаемых на основании ограниченного статистического материала. Например, оценить необходимый объём выборки для получения результатов требуемой точности при выборочном обследовании. Установление закономерностей, которым подчинены массовые случайные явления - результаты наблюдений, также основано на методах этого раздела математики - методе теории вероятностей статистических данных.

Первостепенной задачей математической статистики является указание способа сбора и группировки статистических сведений, полученных экспериментальным путём или в результате наблюдений.

Второй задачей математической статистики является разработка методов анализа статистических данных в зависимости от цели исследования. К этому разделу относятся:

а. оценка неизвестной вероятности события; оценка неизвестной функции распределения; оценка параметров распределения известного вида; оценка зависимости случайно величины от одной или нескольких случайных величин;

б. проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения или о величине параметров распределения, вид которого известен.

Современная математическая статистика разрабатывает также способы определения числа необходимых испытаний до начала исследования (планирование эксперимента), в ходе исследования (последовательный анализ) и решает многие другие задачи. Современную математическую статистику определяют как науку о принятии решений в условиях неопределённости.

Студенты, обучающиеся по направлению «Строительство», впервые сталкиваются с упоминанием таких задач при изучении геологии и механики грунтов, когда им рассказывают о камеральной обработке результатов полевых и лабораторных исследований грунтов, то есть о том, как проводят анализ и обработку результатов полевых и лабораторных работ, выделение инженерно-геологических элементов (ИГЭ), построение геологических колонок и разрезов, составление отчетов, включающих в себя выводы и рекомендации по инженерно-геологическим условиями участка проектируемого строительства. От этих результатов будут зависеть вид, размеры, глубина заложения и состав фундамента для строительства на конкретном участке. Именно камеральная обработка результатов полевых и лабораторных исследований позволяет связать проведенные инженерно-геологические работы с последующим строительством и возведением постройки. Поэтому понимание процесса обработки результатов геологического исследования важно для обучающихся и при этом является наглядным отображением применения методов теории вероятности и математической статистики.

В процессе обработки результатов исследуемые грунты предварительно разделяют на ИГЭ с учетом их происхождения, текстурно-структурных особенностей и вида. Характеристики грунтов в каждом предварительно выделенном ИГЭ анализируют с целью установить и исключить значения, резко отличающиеся от большинства значений, если они вызваны ошибками опытов или принадлежат другому ИГЭ. Окончательное выделение ИГЭ проводят на основе оценки характера пространственной изменчивости характеристик грунтов и их коэффициента вариации, а также сравнительного коэффициента вариации . При этом устанавливают, изменяются ли характеристики грунтов в пределах предварительно выделенного ИГЭ случайным образом или имеет место их закономерное изменение в каком-либо направлении. Для анализа используют физические характеристики (удельный и объемный вес, влажность, границу текучести и границу раскатывания глинистого грунта), а при достаточном количестве - и механические характеристики (угол внутреннего трения и удельного сцепления грунтов). Для оценки характера пространственной изменчивости характеристик их значения наносят на инженерно-геологические разрезы в точках определения, строят графики рассеяния, а также графики зондирования. Для выявления закономерного изменения характеристик строят точечные графики изменения их значений по направлению или применяют аппроксимирующие зависимости. Для осуществления всего этого процесса необходимо иметь представление о ряде терминов, положений и методов теории вероятности и математической статистики, таких как доверительный интервал и доверительная вероятность, закон распределения и среднеквадратичное отклонение, аппроксимирующие законы и ряд других понятий.

В последние годы математический аппарат теории вероятностей и математической статистики стал использоваться в методах расчета строительных конструкций. В связи со случайным характером внешних нагрузок и механических свойств материалов, в меньшей степени, но все таки, со случайными отклонениями геометрических параметров конструкций от проектных значений приходится искать пути решения задач расчета строительных конструкций с использованием статистических методов. Возможность достижения одного из предельных состояний здания или сооружения рассматривают как случайное событие, вероятность которого пытаются определить методами соответствующей теории. При этом предельное состояние может быть вызвано: превышением предела упругости в какой-либо точке конструкции, для которой остаточные деформации недопустимы; хрупким разрушением; возникновением слишком больших упругих деформаций. Наступление предельного состояния может включать временную составляющую, например результат постепенного необратимого накопления повреждений: развития усталостной трещины или механического износа, накопления пластических деформаций или деформаций ползучести.

Особое место занимают статистические методы в расчетах на устойчивость и колебания в строительной механике. Неправильность геометрических форм элементов конструкции изначально носит случайный характер. Поэтому при расчете элементов конструкции: стержней, пластин и оболочек устойчивой форме равновесия соответствует максимум вероятности ее реализации, неустойчивой - минимум вероятности. Оценка поведения реальной конструкции с учетом статистических методов, позволяет охарактеризовать её более полно, чем в рамках обычных представлений об устойчивости. Колебательные процессы, возникающие в сооружениях и конструкциях под действием подвижной нагрузки или в результате сейсмической активности можно рассматривать как явления, возникающие с определенной вероятностью. При их математическом моделировании возможно и необходимо учитывать статистические данные и рассматривать сам процесс как случайный. С подобными задачами обычно сталкиваются студенты старших курсов, или обучающиеся в магистратуре, и полноценное владение знаниями соответствующего раздела математики, наглядное представление об их использовании поможет не отпугнуть, а привлечь их к научно-исследовательской работе.

При этом хочется отметить, что главным применением теории вероятности и статистики в строительстве остается сбор и обработка данных. Существует много направлений их использования в данной отрасли. Помимо уже перечисленных стоит отметить статистический контроль качества продукции , который базируется на непостоянности характеристик материалов и готовой продукции, а также параметров технологических процессов. Результаты отдельных исследований и измерений объединяют и используют их совокупности для описания анализа производственного процесса, его оптимизации. Если статистические методы контроля качества включить в систему управления качеством продукции, то они могут значительно повысить его эффективность. При их применении будет накапливаться необходимая информация о степени вариации качества материалов, технологических процессов и готовой продукции, появится возможность уточнить существующие показатели и критерии качества, границы допусков и требования стандартов, что впоследствии позволит составить оптимальные условия изготовления продукции и управления ее качеством.

Другое важное направление использования математической статистики - экономическое. Учитывая, что это направление является важной составляющей развития любой отрасли, в том числе и связанной со строительством, его нельзя не упомянуть, а главное недооценить. Невозможно обойтись без статистики для оценки:

· темпов роста строительной отрасли, развития отдельных регионов, предприятий;

· эффективности использования той или иной технологии или продукции строительного производства;

· перспективы развития или эффективности внедрения мероприятий в строительной отрасли.

Например, в строительной сфере применяются такие методы как статистический контроль ввода в эксплуатацию жилых и производственных помещений , статистическое регулирование процессов строительства и другие методы.

Применение современных вычислительных и программных устройств позволяет существенно сократить процесс сбора и обработки информации, получения аппроксимирующих зависимостей и оценки результатов, позволяет доступно и наглядно продемонстрировать полученные выводы. Поэтому для применения методов теории вероятности и математической статистики в строительстве необходимо только их знание и желание использовать.

Список литературы :

1. ГОСТ Р ИСО 12491-2011. Материалы и изделия в строительстве. Статистические методы контроля качества. М.: Стандартинформ, 2011. - 24 с.
2. ГОСТ 20522-2012. Грунты. Методы статистической обработки результатов испытаний. М.: Стандартинформ, 2013. - 16 с.
3. Федеральный государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования по направлению подготовки 08.03.01 Строительство (уровень бакалавриата) [Текст]: (приказ Министерства образования и науки Российской Федерации, 2015 г.).
4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов/ В.Е. Гмурман. 9-е изд., стер. М.: Высш. шк., 2003. - 479 с.: ил.
5. Леднева О.В. Показатели оперативной бизнес статистики в разрезе строительной отрасли России // Экономика. Статистика. Информатика. Вестник УМО. - 2014. - № 3. - С. 145-152.
6. Статистические методы контроля качества продукции. /Л. Ноулер и др.: пер. с англ.-2-е русск. изд.-М.: Издательство стандартов, 1989. - 96 с.: ил.
7. Сивориновский Б.Г., Апарин Н.С., Заварина Е.С. Статистика капитального строительства в исследованиях НИИ Статистики РОССТАТА // Вопросы статистики. - 2013. - № 7. - С. 13-19.

Неволина Екатерина Николаевна Екатеринбург УрГЭУ Руководитель – Кныш А. А. Практическое применение теории вероятностей. Актуальность. Теория вероятностей является одним из разделов математики, изучающим случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. Методы теории вероятностей все шире находят свое применение в различных областях науки и техники, а также в обычной жизни. Особенность данного раздела науки заключается в рассмотрении таких явлений, в которых присутствует неопределенность. В статье мне бы хотелось рассмотреть примеры некоторых задач, демонстрирующих практическое применение теории вероятностей. Задачи с экономическим содержанием. 1. Одна из фирм собирается заключить контракт на поставку товара с сетью магазинов. При условии, что конкурент фирмы не станет одновременно претендовать на заключение контракта, вероятность заключения контракта оценивается в 0,85, В противном случае вероятность получения контракта составляет 0,6. По оценкам экспертов компании вероятность того, что конкурент выдвинет свои предложения по заключению контракта, равна 0,55. Чему равна вероятность заключения контракта для этой фирмы? . Данная задача решается с помощью формулы полной вероятности. 2. Экономист-аналитик условно подразделяет экономическую ситуацию в стране на «хорошую», «посредственную» и «плохую» и оценивает их вероятности для данного момента времени в 0,2; 0,7 и 0,15 соответственно. Некоторый индекс экономического состояния возрастает с вероятностью 0,65, когда ситуация «хорошая»; с вероятностью 0,35, когда ситуация посредственная, и с вероятностью 0,1, когда ситуация «плохая». Пусть в настоящий момент индекс экономического состояния возрос. Чему равна вероятность того, что экономика страны на подъеме? . Задача решается с помощью формулы Байеса. 3. Банк выдаёт 9 кредитов. Вероятность невозврата кредита равна 0,2 для каждого заёмщика. Какова вероятность того, что трое заёмщиков не выплатят кредит? Задача решается с помощью формулы Бернулли. 5. Деталь считается годной при отклонении Х линейного размера в абсолютном выражении меньше 1 мм. Отклонение Х является величиной, распределенной по нормальному закону, со среднем квадратическим отклонением   0.35 . Найти количество бракованных деталей в одной партии произведенных деталей (размер партии 1000 шт.), стоимость потерь от брака при себестоимости партии 15 млн. руб., доход от реализации оставшихся годных деталей и экономические потери при рыночной цене 19 000 руб. за единицу продукции . Рассмотрим решение данной задачи. Т.к. Х – отклонение линейного размера в абсолютном выражении, то математическое ожидание М(Х)=а=0. Подставив в формулу  P  X     2      значения    0.35 и   1, получим P X  1  0,9956. Таким образом, в партии из 1000 деталей годными будут 995 деталей. При себестоимости партии 15 млн. руб. себестоимость каждой детали составит в среднем 15 000 руб. Стоимость потерь от брака составят 75000 рублей. Доход от реализации годных деталей по рыночной цене составит 995∙19000 =18,905 млн. руб. В связи с невозможностью реализовать часть продукции экономические потери составят 5∙19000=95000 руб. Методы теории вероятностей также используются в ставках на спорт. С помощью теории вероятностей стало возможным предугадывать и оценивать исходы различных матчей, а также выявлять продуктивность отдельно взятого игрока. Так, например, если мы рассматриваем баскетбол, то в качестве продуктивности игрока можно рассматривать вероятность его попадания в кольцо с различных точек. Приведем примеры задач. 1. На соревнованиях по баскетболу центровой игрок команды «N» бросает мяч в кольцо. За каждый забитый мяч команда получает 2 очка. Найти вероятность того, что за данный бросок центровым команда не получит ни одного очка (0 очков полагается лишь за промах). 2. Две равносильные баскетбольные команды играют в баскетбол. Что вероятнее: вести счет одну четверть из двух или две четверти из четырех (равный счет во внимание не принимается)? Данная задача решается с помощью формулы Бернулли. Итак, нахождение закономерностей в случайных явлениях - это задача теорий вероятности. Теория вероятности - это инструмент для изучения не видимых и многозначных взаимосвязей разных явлений во многочисленных областях науки, техники и экономики. Теория вероятности дает возможность правильно посчитать колебания спроса, предложения, цен и других экономических показателей. Теория вероятности есть часть базовой науки как статистика и прикладная информатика. Так как без теории вероятностей не может работать не одна прикладная программа, и компьютер в целом. И в теории игр она тоже является основной . Список использованных источников: 1. Вентцель Е. С. Теория вероятностей [Электрон. ресурс] : Учеб. пособие. – Москва. – Высшая школа, 1999. – 576 c. – Режим доступа: http://sernam.ru/book_tp.php 2. Методические указания для студентов по проведению практических работ по дисциплине «Математика» [Электрон. ресурс]. – Мончегорск, 2013. – Режим доступа: http://www.studfiles.ru/preview/3829108/ 3. Хуснутдинов, Р. Ш. Математика для экономистов в примерах и задачах [Электрон. ресурс] : учеб. пособие / Р. Ш. Хуснутдинов, В. А. Жихарев. – Санкт-Петербург: Лань, 2012. - 656 с. - Режим доступа: https://e.lanbook.com/book/4233

1

В современном мире для решения многих задач в экономической сфере и сфере финансов применяются различные методы математики и статистики, основывающиеся на базовых понятиях и законах теории вероятностей. В настоящее время теория вероятностей применяется в различных сферах науки, экономики, техники. Особое место в этом вопросе занимает сфера кредитования. В статье описывается история возникновения теории вероятностей, рассматривается связь математических методов теории вероятностей в сфере кредитования, а также создание математических моделей для определения кредитной ставки. Особое внимание уделено применению теории вероятностей в экономике. Создание экономико-математических моделей, опирающихся на теорию вероятностей, позволяет провести планирование, исследование и прогнозирование экономических явлений. Также описывается решение ситуационных задач на конкретных примерах.

теория вероятностей

экономика

кредитование

кредитная организация

обязательства

статистика

1. Бондаренко В.А. Задачи с экономическим содержанием на занятиях по дифференциальному исчислению / В.А. Бондаренко, О.Н. Цыплакова // Актуальные вопросы теории и практики бухгалтерского учета, анализа и аудита: ежегодная 75-я научно-практическая конференция, 2011. – С. 124–127.

2. Бондаренко В.А. Теоретико-вероятностные модели в задачах экономики природопользования / В.А. Бондаренко, И.И. Мамаев, П.А. Сахнюк, Т.И. Сахнюк // Экономические, инновационные и информационные проблемы развития региона: материалы Международной научно-практической конференции. - 2014. - С. 62–65.

3. Гулай Т.А. Математика: Рабочая тетрадь / Т.А. Гулай, В.А. Жукова, С.В. Мелешко, И.А. Невидомская, Ставрополь, 2015.

4. Гулай Т.А. Математические методы исследования экономических процессов / Т.А. Гулай, А.Ф. Долгополова, С.В. Мелешко // Международный журнал экспериментального образования. - 2016. - № 12–1. - С. 116–117.

5. Жукова В.А. Математические методы как средство анализа экономической ситуации предприятий АПК / В.А. Жукова, И.А. Невидомская // Экономические и социальные проблемы регионов в условиях развития информационного общества: сборник материалов Международной научно-практической конференции. - 2017. - С. 91–95.

6. Литвин Д.Б. Модель экономического роста с распределенным запаздыванием в инвестиционной сфере / Д.Б. Литвин, Т.А. Гулай, В.А. Жукова, И.И. Мамаев // Вестник АПК Ставрополья. – 2017. - № 2 (26). - С. 225–228.

7. Мамаев И.И. Использование математического анализа в построении модели налогообложения / И.И. Мамаев, В.А. Жукова // Экономические и информационные проблемы развития региона: оценка, тенденции, перспективы. - 2016. - С. 181–185.

8. Мамаев И.И. Математическое моделирование как метод нивелирования коррупции в экономике / И.И. Мамаев, В.А. Жукова // Аграрная наука Северо-Кавказскому Федеральному округу: сборник научных трудов по материалам 80-й Ежегодной научно-практической конференции. Ставропольский государственный аграрный университет, 2015. – С. 221–224.

9. Мамаев И.И. Модели азартных игр на занятиях по теории вероятностей / И.И. Мамаев, В.А. Жукова // Экономические и информационные аспекты развития региона: теория и практика: международная научно-практическая конференция. Ставропольский государственный аграрный университет, 2015. – С. 172–176.

10. Морозова О.В. Математическая статистика для экономических специальностей на базе EXCEL (практикум) / О.В. Морозова, А.Ф. Долгополова, Н.Н. Тынянко, Е.В. Долгих, Р.В. Крон, С.В. Попова, Н.Б. Смирнова, А.А. Демчук // Международный журнал экспериментального образования. – 2009. – № S4. – С. 21.

Теория вероятностей берёт свое начало в первой четверти XVII в. Поскольку область ее применения XVII-XVIII вв. из-за невысокого уровня естествознания ограничивалась узким кругом вопросов, таких как страхование, азартные игры, демография, то теория вероятностей в то время не смогла получить молниеносного развития. Однако с XIX в. в связи с практической необходимостью, теория вероятностей стремительно развивается и находит применение в различных сферах науки, экономики, техники. Например, теория ошибок наблюдений, теория стрельбы, статистика, молекулярная и атомная физика, химия, метеорология, вопросы планирования, статистический контроль в производстве и так далее.

В наши дни нет области знаний, в которых не использовались бы методы, например, стохастики, включающей в себя части теории вероятностей и математической статистики.

Использование вероятностно-статистических способов является традиционным в физике, геодезии, биологии, экономике, лингвистике, психологии, теории обучения и так далее. Теория вероятностей - математическая основа статистики - науки XX века, а развитие статистических и кибернетических идей способствовало значительному возрастанию прикладного значения теории вероятностей .

В XVII веке французы П. Ферма, Б. Паскаль и голландец Х. Гюйгенс впервые попытались дать определение вероятности. В середине XIX века благодаря работам известного математика и механика П. Чебышева и его последователей А. Ляпунова и А. Маркова теорию вероятностей в мире стали величать «русской наукой». Данные исследования продолжили С. Бернштейн, А. Хинчин и А. Колмогоров, Б. Гнеденко, Ю. Прохоров, Б. Севастьянов, Ю. Линник и другие .

По мнению Лапласа «теория вероятностей - это здравый смысл», который сведен к исчислению. Пьер-Симон говорил о ней, что «нет науки, более достойной наших размышлений» и что «было бы полезно ввести ее в систему народного просвещения». Его призыв услышало общество и в программу средней школы включена стохастическая линия.

В современном мире для решения многих задач в экономической сфере и сфере финансов применяются различные методы математики и статистики, основывающиеся на базовых понятиях и законах теории вероятностей. В условиях современной экономической ситуации теория вероятностей является важной частью в повышении квалификации профессионалов в области экономики и финансов .

Теория вероятностей считается первостепенной среди математических наук, которая изучает законы, управляющие случайными величинами.

В России заинтересованность теорией вероятностей возникла в начале XIX в. Большую пользу в развитие этой науки привнесли такие русские ученые, как П.Л. Чебышев, А.М. Ляпунов, А.А. Марков.

Теория вероятностей - наука, изучающая применение специфических методов, способствующих решению задач, возникающих в процессе рассмотрения случайных величин. Она выявляет закономерности, относящиеся к массовым явлениям. Данные методы не определяют итог случайного явления, но могут показать суммарный результат. Таким образом, если мы изучим законы, которые управляют случайными событиями, то сможем при необходимости изменить исход этих событий.

Одной из первостепенных областей применения теории вероятностей является экономика. Планирование, исследование и прогнозирование экономических явлений невыполнимы без создания экономико-математических моделей, опирающихся на теорию вероятностей.

Коммерческие банки в настоящее время управляют широким спектром операций денежно-кредитного характера, но их основная деятельность - выдача кредитов. В настоящее время у банков возникает опасность - кредитный риск. Он обуславливается вероятностью выполнения кредитозаемщиком всех обязательств соглашения по объемам и срокам. Степень вероятности формируется способностью заёмщика погашать кредитные обязательства .

Рассмотрим пример 1. Человек, взявший кредит, должен его вернуть. Однако он возвращает деньги частями, также выплачивает фиксированный процент за пользование кредитом. По прошествии определенного времени кредитозаемщик должен вернуть всю сумму, которую он брал в кредит, а также плату за его пользование. Но при некоторых обстоятельствах, когда он не может выполнить условия договора, банк с помощью судебного иска накладывает взыскание и компенсирует свои потери. Однако главной задачей для банка является выдача кредитов и извлечение из этого прибыли, а не наложение штрафов. Ввиду этого банкам выгоднее выдавать кредиты только тем, в ком он может быть уверен, что ссуда будет возвращена точно в срок и с процентами.

Появляется случайная величина - возвращен кредит или нет. Для того чтобы узнать, надежен ли кредитуемый или нет, банк анализирует общую характеристику, личные доходы, собственный капитал, экономическую ситуацию в целом. В этот перечень так же относится кредитовая история заемщика, процент людей, которые вернули денежные средства в определенный срок того социального положения, к которому относится заемщик и так далее. Анализ проводится методами теории вероятностей и математической статистики. Несмотря на это банк своей главной целью ставит получение прибыли, а не компенсацию, полученную с людей, которые не смогли выплатить кредит, поэтому каждой банковской организации выгоднее предоставлять кредиты в тех ситуациях, когда имеются гарантии выплаты кредитованной суммы.

Таким образом, образуется величина, которая случайна и показывает возможность человека погасить кредит. Для того чтобы определить категорию граждан, которым можно выдать кредит, кредитная организация рассматривает и изучает статистику. Проводится анализ процентного соотношения в срок вернувших кредитов и всю кредиторскую историю в целом. Методами и способами математической статистики и теории вероятностей происходит анализ и оценка.

Проанализируем задачу 2 на определение кредитной ставки. Кредитная организация G выдает кредит 1000000 рублей на 1 год. Вероятность не погашения ссуды 1 %. Определите размер процентной ставки для получения прибыли.

Обозначим процентную ставку p (100 %). Доход кредитной организации обозначим случайной величиной, так как заёмщику нужно вернуть кредит в совокупности с процентами, но при этом он может его не вернуть. Составим закон распределения, где р - условия возврата кредита с процентами, а прибыль банка получается р млн руб:

Таким образом, вероятность возврата 99 %.

1 % невозврата, когда банк теряет 1000000 рублей, показываем как доход, равный -1.

Определим математическое ожидание:

Следовательно, решив неравенство , мы придем к тому, что , тогда ставка процента по кредиту должна быть выше, чем 1 % (100/99).

Главным риском при выдаче кредита значится вероятность того, что заёмщик не сможет вовремя выполнить обязательства. Ликвидный и процентный риск зависят от кредитного. Это обуславливается, в первую очередь, тем, что основной причиной кризиса ликвидности является очень высокий уровень кредитного риска, проявляющийся в том, что большие суммы кредитов не погашаются. Договоры о ссудах не обеспечивают колоссальных доходов, так как заемщики не возвращают больше, чем прописано в договоре, очень часто кредитуемые возвращают меньше, чем было указано в договоре. Частично возвращенная сумма или долг при погашении ведут к уменьшению дохода банка и кредитному риску.

Рассмотрим задачу 3. Пусть банковская организация W привлекла сумму в 60 ден. ед., сроком хранения 0,2 года (73 дня), ставка процента годовых - 30 % и внес в полном размере в кредит сроком погашения 0,2 года и процентной ставкой 50 % годовых. Чистый доход, который получит банк за 73 дня (0,2 года) при совершении этой депозитно-кредитной операции и при кредитном риске равном 0, получится:

Сделаем предположение - вероятность не погашения кредита 20 %, следовательно, сумма прибыли, с учетом появившегося кредитного риска:

Анализ результатов подсчетов позволяет сделать вывод: если уровень кредитного риска 20 %, то доход понижается. Таким образом, для покрытия убытка в прибыли, банковской организации нужно повысить кредитную ставку процента.

Банк является одним из главных и надежных институтов в мире, который являет собой основу стабильной и развитой системы экономики.

На сегодняшний день имеет место быть нестабильная экономическая и правовая атмосфера банковского института, при которой банкам необходимо обязательно сохранять и увеличивать вложенные суммы вкладчиков. Кредитные операции - это основа банковской системы. Именно они являются главной частью банковской прибыли.

В нынешних условиях рыночной экономики, в ситуации связанной с экономическими рисками максимальную прибыль получает умеющий рассчитать, заметить и распознать кредитные риски, спрогнозировать их и минимизировать. Это главная причина успешности банка в кредитно-денежной политике. Банк, анализируя все статистические денежные характеристики клиента, способен не только охарактеризовать кредитоплатежность фирмы, но и помочь в активизации резервов бизнеса и, как следствие, стать более надежным заёмщиком.

Библиографическая ссылка

Заргарян Н.Р., Лубянская М.В. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В СФЕРЕ КРЕДИТОВАНИЯ // Международный студенческий научный вестник. – 2018. – № 3-1.;
URL: http://eduherald.ru/ru/article/view?id=18208 (дата обращения: 15.01.2020). Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»