Как появился принцип наименьшего действия. Наименьшего действия принцип

P. Maupertuis ) в 1744 году , сразу же указав на его универсальную природу и считая его приложимым к оптике и механике. Из данного принципа он вывел законы отражения и преломления света.

Энциклопедичный YouTube

• 1 / 5

  Математическое исследование и развитие принципа Ферма провёл Христиан Гюйгенс , после чего тему активно обсуждали крупнейшие учёные XVII века. Лейбниц в 1669 году ввёл в физику фундаментальное понятие действия : «Формальные действия движения пропорциональны… произведению количества материи, расстояний, на которые они передвигаются, и скорости».

  Параллельно с анализом основ механики развивались методы решения вариационных задач. Исаак Ньютон в своих «Математических началах натуральной философии » (1687 год) поставил и решил первую вариационную задачу: найти такую форму тела вращения, движущегося в сопротивляющейся среде вдоль своей оси, для которой испытываемое сопротивление было бы наименьшим. Почти одновременно появились и другие вариационные проблемы: задача о брахистохроне (1696), форма цепной линии и др.

  Решающие события произошли в 1744 году. Леонард Эйлер опубликовал первую общую работу по вариационному исчислению («Метод нахождения кривых, обладающих свойствами максимума либо минимума»), а Пьер Луи де Мопертюи в трактате «Согласование различных законов природы, которые до сих пор казались несовместимыми» дал первую формулировку принципа наименьшего действия: «путь, которого придерживается свет, является путём, для которого количество действия будет наименьшим». Он продемонстрировал выполнение этого закона как для отражения, так и для преломления света. В ответ на статью Мопертюи Эйлер опубликовал (в том же 1744 году) работу «Об определении движения брошенных тел в несопротивляющейся среде методом максимумов и минимумов», и в этом труде он придал принципу Мопертюи общемеханический характер: «Так как все явления природы следуют какому-нибудь закону максимума или минимума, то нет никакого сомнения, что и для кривых линий, которые описывают брошенные тела, когда на них действуют какие-нибудь силы, имеет место какое-то свойство максимума или минимума. Далее Эйлер сформулировал этот закон: траектория тела осуществляет минимум ∫ m v d s {\displaystyle \int mv\ ds} . Затем он применил его, выведя законы движения в однородном поле тяжести и в нескольких других случаях.

  В 1746 году Мопертюи в новой работе согласился с мнением Эйлера и провозгласил самую общую версию своего принципа: «Когда в природе происходит некоторое изменение, количество действия, необходимое для этого изменения, является наименьшим возможным. Количество действия есть произведение массы тел на их скорость и на расстояние, которое они пробегают». В развернувшейся широкой дискуссии Эйлер поддержал приоритет Мопертюи и аргументировал всеобщий характер нового закона: «вся динамика и гидродинамика могут быть с удивительной легкостью раскрыты посредством одного только метода максимумов и минимумов».

  Новый этап начался в 1760-1761 годах, когда Жозеф Луи Лагранж ввёл строгое понятие вариации функции, придал вариационному исчислению современный вид и распространил принцип наименьшего действия на произвольную механическую систему (то есть не только на свободные материальные точки). Тем самым было положено начало аналитической механике. Дальнейшее обобщение принципа осуществил Карл Густав Якоб Якоби в 1837 году - он рассмотрел проблему геометрически, как нахождение экстремалей вариационной задачи в конфигурационном пространстве с неевклидовой метрикой. В частности, Якоби указал, что при отсутствии внешних сил траектория системы представляет собой геодезическую линию в конфигурационном пространстве.

  Подход Гамильтона оказался универсальным и высокоэффективным в математических моделях физики, особенно для квантовой механики . Его эвристическая сила была подтверждена при создании Общей теории относительности , когда Давид Гильберт применил гамильтонов принцип для вывода окончательных уравнений гравитационного поля (1915 год).

  В классической механике

  Принцип наименьшего действия служит фундаментальной и стандартной основой лагранжевой и гамильтоновой формулировок механики.

  Вначале рассмотрим построение таким образом лагранжевой механики . На примере физической системы с одной степенью свободы , напомним, что действие - это функционал относительно (обобщённых) координат (в случае одной степени свободы - одной координаты ), то есть оно выражается через q (t) {\displaystyle q(t)} так, что каждому мыслимому варианту функции q (t) {\displaystyle q(t)} сопоставляется некоторое число - действие (в этом смысле можно сказать, что действие как функционал есть правило, позволяющее для любой заданной функции q (t) {\displaystyle q(t)} вычислить вполне определённое число - также называемое действием). Действие имеет вид:

  S [ q ] = ∫ L (q (t) , q ˙ (t) , t) d t , {\displaystyle S[q]=\int {\mathcal {L}}(q(t),{\dot {q}}(t),t)dt,}

  где L (q (t) , q ˙ (t) , t) {\displaystyle {\mathcal {L}}(q(t),{\dot {q}}(t),t)} есть лагранжиан системы, зависящий от обобщённой координаты q {\displaystyle q} , её первой производной по времени q ˙ {\displaystyle {\dot {q}}} , а также, возможно, и явным образом от времени t {\displaystyle t} . Если система имеет большее число степеней свободы n {\displaystyle n} , то лагранжиан зависит от большего числа обобщённых координат q i (t) , i = 1 , 2 , … , n {\displaystyle q_{i}(t),\ i=1,2,\dots ,n} и их первых производных по времени. Таким образом, действие является скалярным функционалом, зависящим от траектории тела.

  То, что действие является скаляром, позволяет легко записать его в любых обобщённых координатах, главное только, чтобы положение (конфигурация) системы однозначно ими характеризовалось (например, вместо декартовых это могут быть полярные координаты, расстояния между точками системы, углы или их функции и т. д.).

  Действие можно вычислить для совершенно произвольной траектории q (t) {\displaystyle q(t)} , какой бы «дикой» и «неестественной» она бы ни была. Однако в классической механике среди всего набора возможных траекторий существует одна-единственная, по которой тело действительно пойдёт. Принцип стационарности действия как раз и даёт ответ на вопрос, как действительно будет двигаться тело:

  Это значит, что если задан лагранжиан системы, то мы с помощью вариационного исчисления можем установить, как именно будет двигаться тело, сначала получив уравнения движения - уравнения Эйлера - Лагранжа , а затем решив их. Это позволяет не только серьёзно обобщить формулировку механики, но и выбирать наиболее удобные координаты для каждой определённой задачи, не ограничиваясь декартовыми, что может быть очень полезно для получения наиболее простых и легко решаемых уравнений.

  S [ p , q ] = ∫ (∑ i p i d q i − H (q , p , t) d t) = ∫ (∑ i p i q ˙ i − H (q , p , t)) d t , {\displaystyle S=\int {\big (}\sum _{i}p_{i}dq_{i}-{\mathcal {H}}(q,p,t)dt{\big)}=\int {\big (}\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}-{\mathcal {H}}(q,p,t){\big)}dt,}

  где H (q , p , t) ≡ H (q 1 , q 2 , … , q N , p 1 , p 2 , … , p N , t) {\displaystyle {\mathcal {H}}(q,p,t)\equiv {\mathcal {H}}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{N},p_{1},p_{2},\dots ,p_{N},t)} - функция Гамильтона данной системы; q ≡ q 1 , q 2 , … , q N {\displaystyle q\equiv q_{1},q_{2},\dots ,q_{N}} - (обобщённые) координаты, p ≡ p 1 , p 2 , … , p N {\displaystyle p\equiv p_{1},p_{2},\dots ,p_{N}} - сопряжённые им (обобщённые) импульсы, характеризующие вместе в каждый данный момент времени динамическое состояние системы и, являясь каждое функцией времени, характеризуя, таким образом, эволюцию (движение) системы. В этом случае для получения уравнений движения системы в форме канонических уравнений Гамильтона надо проварьировать записанное так действие независимо по всем q i {\displaystyle q_{i}} и p i {\displaystyle p_{i}} .

  Необходимо заметить, что если из условий задачи принципиально можно найти закон движения, то это автоматически не означает, что можно построить функционал, принимающий стационарное значение при истинном движении. Примером может служить совместное движение электрических зарядов и монополей - магнитных зарядов - в электромагнитном поле . Их уравнения движения невозможно вывести из принципа стационарности действия. Аналогично некоторые гамильтоновы системы имеют уравнения движения, не выводимые из этого принципа.

  Примеры

  Тривиальные примеры помогают оценивать использование принципа действия через уравнения Эйлера-Лагранжа. Свободная частица (масса m и скорость v ) в евклидовом пространстве перемещается по прямой линии. Используя уравнения Эйлера-Лагранжа, это можно показать в полярных координатах следующим образом. В отсутствие потенциала функция Лагранжа просто равна кинетической энергии

  1 2 m v 2 = 1 2 m (x ˙ 2 + y ˙ 2) {\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}\right)} ψ = ∫ [ D x ] e (i S [ x ] / ℏ) . {\displaystyle \psi =\int e^{({iS[x]}/{\hbar })}\,.}

  Здесь ∫ [ D x ] {\displaystyle \int } - это условная запись бесконечнократного функционального интегрирования по всем траекториям x(t), а ℏ {\displaystyle \hbar } - постоянная Планка . Подчеркнём, что в принципе действие в экспоненте появляется (или может появляться) само, при изучении оператора эволюции в квантовой механике, однако для систем, имеющих точный классический (неквантовый) аналог, оно в точности равно обычному классическому действию.

  Математический анализ этого выражения в классическом пределе - при достаточно больших S / ℏ {\displaystyle S/\hbar } , то есть при очень быстрых осцилляциях мнимой экспоненты - показывает, что подавляющее большинство всевозможных траекторий в этом интеграле взаимосокращаются при этом в пределе (формально при S / ℏ → ∞ {\displaystyle S/\hbar \rightarrow \infty } ). Для почти любого пути найдется такой путь, на котором набег фазы будет в точности противоположным, и они в сумме дадут нулевой вклад. Не сокращаются лишь те траектории, для которых действие близко к экстремальному значению (для большинства систем - минимуму). Это - чисто математический факт из

  Когда я учился в школе, наш учитель физики, по фамилии Бадер, однажды зазвал меня к себе после урока и сказал: «У тебя вид такой, как будто тебе все страшно надоело; послушай-ка об одной интересной вещи». И он рассказал мне нечто, что мне показалось поистине захватывающим. Даже сейчас, хотя с тех пор прошла уже уйма времени, это продолжает меня увлекать. И всякий раз, когда я вспоминаю о сказанном, я вновь принимаюсь за работу. И на этот раз, готовясь к лекции, я поймал себя на том, что вновь анализирую все то же самое. И, вместо того чтобы готовиться к лекции, я взялся за решение новой задачи. Предмет, о котором я говорю, - это принцип наименьшего действия.

  Вот что сказал мне тогда мой учитель Бадер: «Пусть, к примеру, у тебя имеется частица в поле тяжести; эта частица, выйдя откуда-то, свободно движется куда-то в другую точку. Ты подбросил ее, скажем, кверху, а она взлетела, а потом упала.

  От исходного места к конечному она прошла за какое-то время. Попробуй теперь какое-то другое движение. Пусть для того, чтобы перейти «отсюда сюда», она двигалась уже не так, как раньше, а вот так:

  

  но все равно очутилась на нужном месте в тот же самый момент времени, что и раньше».

  «И вот,- продолжал учитель,- если ты подсчитаешь кинетическую энергию в каждый момент времени на пути частицы, вычтешь из нее потенциальную энергию и проинтегрируешь разность по всему тому времени, когда происходило движение, то увидишь, что число, которое получится, будет больше, чем при истинном движении частицы.

  Иными словами, законы Ньютона можно сформулировать не в виде , а вот как: средняя кинетическая энергия минус средняя потенциальная энергия достигает своего самого наименьшего значения на той траектории, по которой предмет двигается в действительности от одного места к другому.

  Попробую пояснить тебе это чуть понятнее.

  Если взять поле тяготения и обозначить траекторию частицы , где - высота над землей (обойдемся пока одним измерением; пусть траектория пролегает только вверх и вниз, а не в стороны), то кинетическая энергия будет , а потенциальная энергия в произвольный момент времени будет равна .

  Теперь я для какого-то момента движения по траектории беру разность кинетической и потенциальной энергий и интегрирую по всему времени от начала до конца. Пусть в начальный момент времени движение началось на какой-то высоте, а кончилось в момент на другой определенной высоте.

  

  Тогда интеграл равен

  .

  Истинное движение совершается по некоторой кривой (как функция времени она является параболой) и приводит к какому-то определенному значению интеграла. Но можно представить себе какое-то другое движение: сперва резкий подъем, а потом какие-то причудливые колебания.

  

  Давай проверим это. Для начала разберем такой случай: у свободной частицы вовсе нет потенциальной энергии. Тогда правило говорит, что при переходе от одной точки к другой за заданное время интеграл от кинетической энергии должен оказаться наименьшим. А это значит, что частица обязана двигаться равномерно. (И это правильно, мы же с тобой знаем, что скорость в таком движении постоянна.) А почему равномерно? Разберемся в этом. Если бы было иначе, то временами скорость частицы превысила бы среднюю, а временами была бы ниже ее, а средняя скорость была бы одинаковой, потому что частице надо было бы дойти «отсюда сюда» за условленное время. Например, если тебе нужно попасть из дому в школу на своей машине за определенное время, то сделать это можно по-разному: ты можешь сперва гнать, как сумасшедший, а в конце притормозить, или ехать с одинаковой скоростью, или сначала можешь даже отправиться в обратную сторону, а уж потом повернуть к школе, и т. д. Во всех случаях средняя скорость, конечно, должна быть одной и той же - частное от деления расстояния от дома до школы на время. Но и при данной средней скорости ты иногда двигался слишком быстро, а иногда чересчур медленно. А средний квадрат чего-то, что отклоняется от среднего, как известно, всегда больше квадрата среднего; значит, интеграл от кинетической энергии при колебаниях скорости движения всегда будет больше, нежели при движении с постоянной скоростью. Ты видишь, что интеграл достигнет минимума, когда скорость будет постоянной (при отсутствии сил). Правильный путь таков.

  

  Предмет же, подброшенный в поле тяжести вверх, сперва поднимается быстро, а потом все медленнее. Происходит это потому, что он обладает и потенциальной энергией, а наименьшего значения должна достигать разность между кинетической и потенциальной энергиями. Раз потенциальная энергия возрастает по мере подъема, то меньшая разность получится, если как можно быстрее достичь тех высот, где потенциальная энергия велика. Тогда, вычтя из кинетической энергии этот высокий потенциал, мы добьемся уменьшения среднего. Так что выгоднее такой путь, который идет вверх и поставляет добрый отрицательный кусок потенциальной энергии.

  

  Но, с другой стороны, нельзя ни двигаться слишком быстро, ни подняться слишком высоко, потому что на это потребуется чересчур много кинетической энергии. Надо двигаться достаточно быстро, чтобы подняться и спуститься за определенное время, имеющееся в твоем распоряжении. Так что не следует стараться взлететь слишком высоко, а просто надо достичь какого-то разумного уровня. В итоге оказывается, что решение есть своего рода равновесие между желанием раздобыть как можно больше потенциальной энергии и желанием как можно сильней уменьшить количество кинетической энергии - это стремление добиться максимального уменьшения разности кинетической и потенциальной энергий».

  Вот и все, что сказал мне мой учитель, потому что он был очень хороший учитель и знал, когда пора остановиться. Сам я, увы, не таков. Мне трудно остановиться вовремя. И поэтому вместо того, чтобы просто разжечь в вас интерес своим рассказом, я хочу запугать вас, хочу, чтобы вам стало тошно от сложности жизни, - попробую доказать то, о чем я рассказал. Математическая задача, которую мы будем решать, очень трудна и своеобразна. Имеется некоторая величина , называемая действием. Она равна кинетической энергии минус потенциальная, проинтегрированная по времени:

  .

  Не забудьте, что и п. э. и к. э. - обе функции времени. Для любого нового мыслимого пути это действие принимает свое определенное значение. Математическая задача состоит в том, чтобы определить, для какой кривой это число меньше, чем для других.

  Вы скажете: «О, это просто обычный пример на максимум и минимум. Надо подсчитать действие, продифференцировать его и найти минимум».

  Но погодите. Обычно у нас бывает функция какой-то переменной и нужно найти значение переменной, при котором функция становится наименьшей или наибольшей. Скажем, имеется стержень, нагретый посредине. По нему растекается тепло и в каждой точке стержня устанавливается своя температура. Нужно найти точку, где она выше всего. Но у нас речь идет совсем об ином - каждому пути в пространстве отвечает свое число, и предполагается найти тот путь, для которого это число минимально. Это совсем другая область математики. Это не обычное исчисление, а вариационное (так его называют).

  В этой области математики имеется много своих задач. Скажем, окружность обычно определяют как геометрическое место точек, расстояния которых от данной точки одинаковы, но окружность можно определить и иначе: это та из кривых данной длины, которая ограничивает собою наибольшую площадь. Любая другая кривая такого же периметра ограничивает площадь меньшую, чем окружность. Так что если поставить задачу: найти кривую данного периметра, ограничивающую наибольшую площадь, то перед нами будет задача из вариационного исчисления, а не из того исчисления, к которому вы привыкли.

  Итак, мы хотим взять интеграл по пути, пройденному телом. Сделаем это так. Все дело в том, чтобы вообразить себе, что существует истинный путь и что любая другая кривая, которую мы проведем, - не настоящий путь, так что если подсчитать для нее действие, то получится число, превышающее то, которое мы получим для действия, соответствующего настоящему пути.

  

  Итак, задача: найти истинный путь. Где он пролегает? Один из способов конечно, мог бы состоять в том, чтобы подсчитать действие для миллионов и миллионов путей и потом посмотреть, при каком пути это действие наименьшее. Вот тот путь, при котором действие минимально, и будет настоящим.

  Такой способ вполне возможен. Однако можно сделать проще. Если имеется величина, обладающая минимумом (из обычных функций, скажем, температура), то одно из свойств минимума состоит в том, что при удалении от него на расстояние первого порядка малости функция отклоняется от минимального своего значения только на величину второго порядка. А в любом другом месте кривой сдвиг на малое расстояние изменяет значение функции тоже на величину первого порядка малости. Но в минимуме легкие уходы в сторону в первом приближении не приводят к изменению функции.

  

  Это-то свойство мы и собираемся использовать для расчета настоящего пути.

  Если путь правильный, то кривая, чуть-чуть отличная от него, не приведет в первом приближении к изменению в величине действия. Все изменения, если это был действительно минимум, возникнут только во втором приближении.

  Это легко доказать. Если при каком-то отклонении от кривой возникают изменения в первом порядке, то эти изменения в действии пропорциональны отклонению. Они, по всей вероятности, увеличат действие; иначе это не был бы минимум. Но раз изменения пропорциональны отклонению, то перемена знака отклонения уменьшит действие. Выходит, что при отклонении в одну сторону действие возрастает, а при отклонении в обратную сторону - убывает. Единственная возможность того, чтобы это действительно был минимум, - это чтобы в первом приближении никаких изменений не происходило и изменения были бы пропорциональны квадрату отклонения от настоящего пути.

  Итак, мы пойдем по следующему пути: обозначим через (с чертой внизу) истинный путь - тот, который мы хотим найти. Возьмем некоторый пробный путь , отличающийся от искомого на небольшую величину, которую мы обозначим .

  

  Идея состоит в том, что если мы подсчитаем действие на пути , то разность между этим и тем действием, которое мы вычислили для пути (для простоты оно будет обозначено ), или разность между и , должна быть в первом приближении по нулем. Они могут отличаться во втором порядке, но в первом разность обязана быть нулем.

  И это должно соблюдаться для любой . Впрочем, не совсем для любой. Метод требует принимать во внимание только те пути, которые все начинаются и кончаются в одной и той же паре точек, т. е. всякий путь должен начинаться в определенной точке в момент и кончаться в другой определенной точке в момент . Эти точки и моменты фиксируются. Так что наша функция (отклонение) должна быть равна нулю на обоих концах: и . При этом условии наша математическая задача становится полностью определенной.

  Если бы вы не знали дифференциального исчисления, вы могли бы проделать такую же вещь для отыскания минимума обычной функции . Вы бы задумались над тем, что случится, если взять и прибавить к малую величину , и доказывали бы, что поправка к в первом порядке по должна в минимуме быть равна нулю. Вы бы подставили вместо и разложили бы с точностью до первой степени , словом, повторили бы все то, что мы намерены сделать с .

  Итак, идея наша заключается в том, что мы подставляем в формулу для действия

  ,

  где через обозначена потенциальная энергия. Производная - это, естественно, производная от плюс производная от , так что для действия я получаю такое выражение:

  .

  Теперь это нужно расписать подетальней. Для квадратичного слагаемого я получу

  .

  Но постойте-ка! Ведь мне не нужно заботиться о порядках выше первого. Я могу убрать все слагаемые, в которых есть и высшие степени, и ссыпать их в ящик под названием «второй и высшие порядки». Из этого выражения туда попадет только одна вторая степень, но из чего-то другого могут войти и высшие. Итак, часть, связанная с кинетической энергией, такова:

  Дальше нам нужен потенциал в точках . Я считаю малой и могу разложить в ряд Тэйлора. Приближенно это будет ; в следующем приближении (из-за того, что здесь стоят обычные производные) поправка равна , умноженной на скорость изменения по отношению к и т. д.:

  .

  Для экономии места я обозначил через производную по . Слагаемое с и все, стоящие за ним, попадают в категорию «второй и высшие порядки». И о них больше нечего беспокоиться. Объединим все, что осталось:

  Если мы теперь внимательно взглянем на это, то увидим, что два первых написанных здесь члена отвечают тому действию , которое я написал бы для искомого истинного пути . Я хочу сосредоточить ваше внимание на изменении , т. е. на разности между и тем , которое получилось бы для истинного пути. Эту разность мы будем записывать как и назовем ее вариацией . Отбрасывая «второй и высшие порядки», получаем для

  .

  Теперь задача выглядит так. Вот передо мной некоторый интеграл. Я не знаю еще, каково это , но я твердо знаю, что, какую я ни возьму, этот интеграл должен быть равен нулю. «Ну что ж,- подумаете вы,- единственная возможность для этого - это чтобы множитель при был равен нулю». Но как быть с первым слагаемым, где есть ? Вы скажете: «Если обращается в ничто, то и ее производная такое же ничто; значит, коэффициент при должен тоже быть нулем». Ну это не совсем верно. Это не совсем верно потому, что между отклонением и его производной имеется связь; они не полностью независимы, потому что должно быть нулем и при и при .

  При решении всех задач вариационного исчисления всегда пользуются одним и тем же общим принципом. Вы чуть сдвигаете то, что хотите варьировать (подобно тому, как это сделали мы, добавляя ), бросаете взгляд на члены первого порядка, затем расставляете все так, чтобы получился интеграл в таком виде: «сдвиг , умноженный на что получится», но чтобы в нем не было никаких производных от (никаких ). Непременно нужно так все преобразовать, чтобы осталось «нечто», умноженное на . Сейчас вы поймете, отчего это так важно. (Существуют формулы, которые подскажут вам, как в некоторых случаях можно это проделать без каких-либо выкладок; но они не так уж общи, чтобы стоило заучивать их; лучше всего проделывать выкладки так, как это делаем мы.)

  Как же я могу переделать член , чтобы в нем появилось ? Я могу добиться этого, интегрируя по частям. Оказывается, что в вариационном исчислении весь фокус в том и состоит, чтобы расписать вариацию и затем проинтегрировать по частям так, чтобы производные от исчезли. Во всех задачах, в которых появляются производные, проделывается такой же фокус.

  Припомните общий принцип интегрирования по частям. Если у вас есть произвольная функция , умноженная на и проинтегрированная по , то вы расписываете производную от :

  .

  В интересующем вас интеграле стоит как раз последнее слагаемое, так что

  .

  В нашей формуле для за функцию принимается произведение на ; поэтому я получаю для выражение

  В первый член должны быть подставлены пределы интегрирования и . Тогда я получу под интегралом член от интегрирования по частям и последний член, оставшийся при преобразовании неизменным.

  А теперь происходит то, что бывает всегда, - проинтегрированная часть исчезает. (А если не исчезает, то нужно переформулировать принцип, добавив условия, обеспечивающие такое исчезновение!) Мы уже говорили, что на концах пути должна быть равна нулю. Ведь в чем состоит наш принцип? В том, что действие минимально при условии, что варьируемая кривая начинается и кончается в избранных точках. Это значит, что и . Поэтому проинтегрированный член получается равным нулю. Мы собираем воедино остальные члены и пишем

  .

  Вариация теперь приобрела такой вид, какой мы хотели ей придать: что-то стоит в скобках (обозначим его ), и все это умножено на и проинтегрировано от до .

  У нас вышло, что интеграл от какого-то выражения, умноженного на , всегда равен нулю:

  .

  Стоит какая-то функция от ; умножаю ее на и интегрирую ее от начала до конца. И какова бы ни была , я получаю нуль. Это означает, что функция равна нулю. В общем-то это очевидно, но я на всякий случай покажу вам один из способов доказательства.

  Пусть в качестве я выберу нечто, что равно нулю всюду, при всех , кроме одного, заранее выбранного значения . Оно остается нулем, пока я не дойду до этого , затем оно подскакивает на мгновение и сразу же осаживает назад. Если вы берете интеграл от этой , умноженной на какую-то функцию , то единственное место, в котором вы получите что-то ненулевое, - это там, где подскакивало; и у вас получится значение в этом месте на интеграл по скачку. Сам по себе интеграл по скачку не равен нулю, но после умножения на он должен дать нуль. Значит, функция в том месте, где был скачок, должна оказаться нулем. Но ведь скачок можно было сделать в любом месте; значит, должна быть нулем всюду.

  

  Мы видим, что если наш интеграл равен нулю при какой угодно , то коэффициент при должен обратиться в нуль. Интеграл действия достигает минимума на том пути, который будет удовлетворять такому сложному дифференциальному уравнению:

  .

  На самом деле оно не так уж сложно; вы его уже встречали прежде. Это просто . Первый член - это масса, умноженная на ускорение; второй - это производная от потенциальной энергии, т. е. сила.

  Итак, мы показали (по крайней мере для консервативной системы), что принцип наименьшего действия приводит к правильному ответу; он утверждает, что путь, обладающий минимумом действия,- это путь, удовлетворяющий закону Ньютона.

  Нужно сделать еще одно замечание. Я не доказал, что это минимум. Может быть, это максимум. На самом деле это и не обязательно должен быть минимум. Здесь все так же, как в «принципе кратчайшего времени», который мы обсуждали, изучая оптику. Там тоже мы сперва говорили о «кратчайшем» времени. Однако выяснилось, что бывают положения, в которых это время не обязательно «кратчайшее». Фундаментальный принцип заключается в том, чтобы для любых отклонений первого порядка от оптического пути изменения во времени были бы равны нулю; здесь та же самая история. Под «минимумом» мы на самом деле подразумеваем, что в первом порядке малости изменения величины при отклонениях от пути должны быть равны нулю. И это не обязательно «минимум».

  Теперь я хочу перейти к некоторым обобщениям. В первую очередь всю эту историю можно было бы проделать и в трех измерениях. Вместо простого я тогда имел бы , и как функции , и действие выглядело бы посложнее. При трехмерном движении вы должны использовать полную кинетическую энергию: , умноженное на квадрат всей скорости. Иначе говоря,

  .

  Кроме того, потенциальная энергия теперь является функцией , и . А что можно сказать о пути? Путь есть некоторая кривая общего вида в пространстве; ее не так легко начертить, но идея остается прежней. А как обстоит дело с ? Что ж, и имеет три компоненты. Путь можно сдвигать и по , и по , и по , или во всех трех направлениях одновременно. Так что теперь вектор. От этого сильных усложнений не получается. Раз нулю должны быть равны лишь вариации первого порядка, то можно провести расчет последовательно с тремя сдвигами. Сперва можно сдвинуть только в направлении и сказать, что коэффициент должен обратиться в нуль. Получится одно уравнение. Потом мы сдвинем в направлении и получим второе. Затем сдвинем в направлении и получим третье. Можно все, если угодно, проделать в другом порядке. Как бы то ни было, возникает тройка уравнений. Но ведь закон Ньютона - это тоже три уравнения в трех измерениях, по одному для каждой компоненты. Вам предоставляется самим убедиться, что это все действует и в трех измерениях (работы здесь не так много). Между прочим, можно взять какую угодно систему координат, полярную, любую, и сразу получить законы Ньютона применительно к этой системе, рассматривая, что получится, когда произойдет сдвиг вдоль радиуса или по углу, и т. д.

  Метод может быть обобщен и на произвольное число частиц. Если, скажем, у вас есть две частицы и между ними действуют какие-то силы и имеется взаимная потенциальная энергия, то вы просто складываете их кинетические энергии и вычитаете из суммы потенциальную энергию взаимодействия. А что вы варьируете? Пути обеих частиц. Тогда для двух частиц, движущихся в трех измерениях, возникает шесть уравнений. Вы можете варьировать положение частицы 1 в направлении , в направлении и в направлении , и то же самое проделать с частицей 2, так что существует шесть уравнений. И так и должно быть. Три уравнения определяют ускорение частицы 1 через силу, действующую на нее, а три других - ускорение частицы 2 из-за силы, действующей на нее. Следуйте всегда тем же правилам игры, и вы получите закон Ньютона для произвольного числа частиц.

  Я сказал, что мы получим закон Ньютона. Это не совсем верно, потому что в закон Ньютона входят и неконсервативные силы, например трение. Ньютон утверждал, что равно всякой . Принцип же наименьшего действия справедлив только для консервативных систем, таких, где все силы могут быть получены из потенциальной функции. Но ведь вы знаете, что на микроскопическом уровне, т. е. на самом глубинном физическом уровне, неконсервативных сил не существует. Неконсервативные силы (такие, как трение) появляются только от того, что мы пренебрегаем микроскопическими сложными эффектами: просто слишком много частиц приходится анализировать. Фундаментальные же законы могут быть выражены в виде принципа наименьшего действия.

  Позвольте перейти к дальнейшим обобщениям. Положим, нас интересует, что будет, когда частица движется релятивистски. Пока мы не получили правильного релятивистского уравнения движения; верно только в нерелятивистских движениях. Встает вопрос: существует ли в релятивистском случае соответствующий принцип наименьшего действия? Да, существует. Формула в релятивистском случае такова:

  Первая часть интеграла действия - это произведение массы покоя на и на интеграл от функции скорости . Затем вместо того, чтобы вычитать потенциальную энергию, мы имеем интегралы от скалярного потенциала и от векторного потенциала , умноженного на . Конечно, здесь приняты во внимание только электромагнитные силы. Все электрические и магнитные поля выражены в терминах и . Такая функция действия дает полную теорию релятивистского движения отдельной частицы в электромагнитном поле.

  Конечно, вы должны понимать, что всюду, где я написал , прежде чем делать выкладки, следует подставить вместо и т. д. Кроме того, там, где я писал просто , , , вы должны представить себе точки в момент : , , . Собственно, только после таких подстановок и замен у вас получится формула для действия релятивистской частицы. Пусть самые умелые из вас попытаются доказать, что эта формула для действия действительно дает правильные уравнения движения теории относительности. Позвольте лишь посоветовать для начала отбросить , т. е. обойтись пока без магнитных полей. Тогда вы должны будете получить компоненты уравнения движения , где, как вы, вероятно, помните, .

  Включить в рассмотрение векторный потенциал намного труднее. Вариации тогда становятся несравненно более сложными. Но в конце сила оказывается равной тому, чему следует: . Но позабавьтесь с этим сами.

  Мне хотелось бы подчеркнуть, что в общем случае (к примеру, в релятивистской формуле) под интегралом в действии уже не стоит разность кинетической и потенциальной энергий. Это годилось только в нерелятивистском приближении. Например, член - это не то, что называют кинетической энергией. Вопрос о том, каким должно быть действие для произвольного частного случая, может быть решен после некоторого числа проб и ошибок. Это задача того же типа, что и определение, каковы должны быть уравнения движения. Вы просто должны поиграть с известными вам уравнениями и посмотреть, можно ли их написать в виде принципа наименьшего действия.

  Еще одно замечание по поводу терминологии. Ту функцию, которую интегрируют по времени, чтобы получить действие , называют лагранжианом . Это функция, зависящая только от скоростей и положений частиц. Так что принцип наименьшего действия записывается также в виде

  ,

  где под и подразумеваются все компоненты координат и скоростей. Если вы когда-нибудь услышите, что кто-то говорит о «лагранжиане», знайте, что речь идет о функции, применяемой для получения . Для релятивистского движения в электромагнитном поле

  .

  Кроме того, я должен отметить, что самые дотошные и педантичные люди не называют действием. Его именуют «первой главной функцией Гамильтона». Но читать лекцию о «принципе наименьшей первой главной функции Гамильтона» было свыше моих сил. Я назвал это «действием». Да к тому же все больше и больше людей называют это «действием». Видите ли, исторически действием было названо нечто другое, не столь полезное для науки, но я думаю, что разумнее изменить определение. Теперь и вы начнете именовать новую функцию действием, а вскоре и все вообще станут называть ее этим простым именем.

  Теперь я хочу сообщить вам по поводу нашей темы кое-что, похожее на те рассуждения, которые я вел по поводу принципа кратчайшего времени. Существует разница в самом существе закона, утверждающего, что некоторый интеграл, взятый от одной точки до другой, имеет минимум, - закона, который сообщает нам что-то обо всем пути сразу, и закона, который говорит, что когда вы двигаетесь, то, значит, есть сила, приводящая к ускорению. Второй подход докладывает вам о каждом вашем шаге, он прослеживает ваш путь пядь за пядью, а первый выдает сразу какое-то общее утверждение обо всем пройденном пути. Толкуя о свете, мы говорили о связи этих двух подходов. Теперь я хочу объяснить вам, отчего должны существовать дифференциальные законы, если имеется такой принцип - принцип наименьшего действия. Причина вот в чем: рассмотрим действительно пройденный в пространстве и времени путь. Как и прежде, обойдемся одним измерением, так что можно будет начертить график зависимости от . Вдоль истинного пути достигает минимума. Положим, что у нас есть этот путь и что он проходит через некоторую точку пространства и времени и через другую соседнюю точку .

  

  Теперь, если весь интеграл от до достиг минимума, необходимо, чтобы интеграл вдоль маленького участочка от до тоже был минимальным. Не может быть, чтобы часть от до хоть чуточку превосходила минимум. Иначе вы могли бы подвигать туда-сюда кривую на этом участочке и снизить немного значение всего интеграла.

  Значит, любая часть пути тоже должна давать минимум. И это справедливо для каких-угодно маленьких долек пути. Поэтому тот принцип, что весь путь должен давать минимум, можно сформулировать, сказав, что бесконечно малая долька пути - это тоже такая кривая, на которой действие минимально. И если мы возьмем достаточно короткий отрезок пути - между очень близкими друг к другу точками и , - то уже неважно, как меняется потенциал от точки к точке вдали от этого места, потому что, проходя весь ваш коротенький отрезочек, вы почти не сходите с места. Единственное, что вам нужно учитывать, - это изменение первого порядка малости в потенциале. Ответ может зависеть только от производной потенциала, а не от потенциала в других местах. Так, утверждение о свойстве всего пути в целом становится утверждением о том, что происходит на коротком участке пути, т. е. дифференциальным утверждением. И эта дифференциальная формулировка включает производные от потенциала, т. е. силу в данной точке. Таково качественное объяснение связи между законом в целом и дифференциальным законом.

  Когда мы говорили о свете, то обсуждали также вопрос: как все-таки частица находит правильный путь? С дифференциальной точки зрения это понять легко. В каждый момент частица испытывает ускорение и знает только то, что ей положено делать в это мгновение. Но все ваши инстинкты причин и следствий встают на дыбы, когда вы слышите, что частица «решает», какой ей выбрать путь, стремясь к минимуму действия. Уж не «обнюхивает» ли она соседние пути, прикидывая, к чему они приведут - к большему или к меньшему действию? Когда мы на пути света ставили экран так, чтобы фотоны не могли перепробовать все пути, мы выяснили, что они не могут решить, каким путем идти, и получили явление дифракции.

  Но верно ли это и для механики? Правда ли, что частица не просто «идет верным путем», а пересматривает все другие мыслимые траектории? И что если, ставя преграды на ее пути, мы не дадим ей заглядывать вперед, то мы получим некий аналог явления дифракции? Самое чудесное во всем этом - то, что все действительно обстоит так. Именно это утверждают законы квантовой механики. Так что наш принцип наименьшего действия сформулирован не полностью. Он состоит не в том, что частица избирает путь наименьшего действия, а в том, что она «чует» все соседние пути и выбирает тот, вдоль которого действие минимально, и способ этого выбора сходен с тем, каким свет отбирает кратчайшее время. Вы помните, что способ, каким свет отбирает кратчайшее время, таков: если свет пойдет по пути, требующему другого времени, то придет он с другой фазой. А полная амплитуда в некоторой точке есть сумма вкладов амплитуд для всех путей, по которым свет может ее достичь. Все те пути, у которых фазы резко различаются, ничего после сложения не дают. Но если вам удалось найти всю последовательность путей, фазы которых почти одинаковы, то мелкие вклады сложатся, и в точке прибытия полная амплитуда получит заметное значение. Важнейшим путем становится тот, возле которого имеется множество близких путей, дающих ту же фазу.

  В точности то же происходит и в квантовой механике. Законченная квантовая механика (нерелятивистская и пренебрегающая спином электрона) работает так: вероятность того, что частица, выйдя из точки 1 в момент , достигнет точки 2 в момент , равна квадрату амплитуды вероятности. Полная амплитуда может быть записана в виде суммы амплитуд для всех возможных путей - для любого пути прибытия. Для любого , которое могло бы возникнуть для любой мыслимой воображаемой траектории, нужно подсчитать амплитуду. Затем их все нужно сложить. Что же мы примем за амплитуду вероятности некоторого пути? Наш интеграл действия говорит нам, какой обязана быть амплитуда отдельного пути. Амплитуда пропорциональна , где - действие на этом пути. Это значит, что если мы представим фазу амплитуды в виде комплексного числа, то фазовый угол будет равен . Действие имеет размерность энергии на время, и у постоянной Планка размерность такая же. Это постоянная, которая определяет, когда нужна квантовая механика.

  И вот как все это срабатывает. Пусть для всех путей действие будет весьма большим по сравнению с числом . Пусть какой-то путь привел к некоторой величине амплитуды. Фаза рядом проложенного пути окажется совершенно другой, потому что при огромном даже незначительные изменения резко меняют фазу (ведь чрезвычайно мало). Значит, рядом лежащие пути при сложении обычно гасят свои вклады. И только в одной области это не так - в той, где и путь и его сосед - оба в первом приближении обладают одной и той же фазой (или, точнее, почти одним и тем же действием, меняющимся в пределах ). Только такие пути и принимаются в расчет. А в предельном случае, когда постоянная Планка стремится к нулю, правильные квантовомеханические законы можно подытожить, сказав: «Забудьте обо всех этих амплитудах вероятностей. Частица и впрямь движется по особому пути - именно по тому, по которому в первом приближении не меняется». Такова связь между принципом наименьшего действия и квантовой механикой. То обстоятельство, что таким способом можно сформулировать квантовую механику, было открыто в 1942 г. учеником того же самого учителя, мистера Бадера, о котором я вам рассказывал. [Первоначально квантовая механика была сформулирована при помощи дифференциального уравнения для амплитуды (Шредингер), а также при помощи некоторой матричной математики (Гейзенберг).]

  Теперь я хочу потолковать о других принципах минимума в физике. Есть очень много интересных принципов такого рода. Я не буду их все перечислять, а назову еще только один. Позже, когда мы доберемся до одного физического явления, для которого существует превосходный принцип минимума, я расскажу вам о нем. А сейчас я хочу показать, что необязательно описывать электростатику при помощи дифференциального уравнения для поля; можно вместо этого потребовать, чтобы некоторый интеграл обладал максимумом или минимумом. Для начала возьмем случай, когда плотность зарядов известна повсюду, а нужно найти потенциал в любой точке пространства. Вы уже знаете, что ответ должен быть такой:

  Другой способ утверждать то же самое заключается в следующем: надо вычислить интеграл

  ;

  это объемный интеграл. Он берется по всему пространству. При правильном распределении потенциала это выражение достигает минимума.

  Мы можем показать, что оба эти утверждения относительно электростатики эквивалентны. Предположим, что мы выбрали произвольную функцию . Мы хотим показать, что когда в качестве мы возьмем правильное значение потенциала плюс малое отклонение , то в первом порядке малости изменение в будет равно нулю. Так что мы пишем

  здесь - это то, что мы ищем; но мы проварьируем , чтобы увидеть, каким он должен быть для того, чтобы вариация оказалась первого порядка малости. В первом члене нам нужно написать

  Единственный член первого порядка, который будет меняться, таков:

  Во втором члене подынтегральное выражение примет вид

  изменяющаяся часть здесь равна . Оставляя только меняющиеся члены, получим интеграл

  .

  Это нужно проинтегрировать по , и по . И здесь напрашивается тот же фокус: чтобы избавиться от , мы проинтегрируем по по частям. Это приведет к добавочному дифференцированию по . Это та же основная идея, с помощью которой мы избавились от производных по . Мы пользуемся равенством

  .

  Проинтегрированный член равен нулю, так как мы считаем равным нулю на бесконечности. (Это отвечает обращению в нуль при и . Так что наш принцип более точно формулируется следующим образом: для правильного меньше, чем для любого другого , обладающего теми же значениями на бесконечности.) Затем мы проделаем то же с и с . Наш интеграл обратится в

  .

  Чтобы эта вариация была равна нулю при любом произвольном , коэффициент при должен быть равен нулю. Значит,

  Мы вернулись к нашему старому уравнению. Значит, наше «минимальное» предложение верно. Его можно обобщить, если слегка изменить выкладки. Вернемся назад и проинтегрируем по частям, но расписывая все покомпонентно. Начнем с того, что напишем следующее равенство:

  Продифференцировав левую часть, я могу показать, что она в точности равна правой. Это уравнение подходит для того, чтобы провести интегрирование по частям. В нашем интеграле мы заменяем на и затем интегрируем это по объему. Член с дивергенцией после интегрирования по объему заменяется интегралом по поверхности:

  А поскольку мы интегрируем по всему пространству, то поверхность в этом интеграле лежит на бесконечности. Значит, , и мы получаем прежний результат.

  Только теперь мы начинаем понимать, как решать задачи, в которых мы не знаем, где расположены все заряды. Пусть мы имеем проводники, на которых как-то распределены заряды. Если потенциалы на всех проводниках зафиксированы, то наш принцип минимума все еще разрешается применять. Интегрирование в мы проведем только по области, лежащей снаружи всех проводников. Но раз мы не можем на проводниках менять , то на их поверхности , и поверхностный интеграл

  тоже равен нулю. Остающееся объемное интегрирование

  

  нужно проделывать только в промежутках между проводниками. И мы, конечно, снова получаем уравнение Пуассона

  Мы, стало быть, показали, что наш первоначальный интеграл достигает минимума и тогда, когда он вычисляется в пространстве между проводниками, каждый из которых находится при фиксированном потенциале [это значит, что каждая пробная функция должна равняться заданному потенциалу проводника, когда - точки поверхности проводника].

  Существует интересный частный случай, когда заряды расположены только на проводниках. Тогда

  

  и наш принцип минимума говорит нам, что в случае, когда у каждого проводника есть свой заранее заданный потенциал, потенциалы в промежутках между ними пригоняются так, что интеграл оказывается как можно меньше. А что это за интеграл? Член - это электрическое поле. Значит, интеграл - это электростатическая энергия. Правильное поло и есть то единственное, которое из всех полей, получаемых как градиент потенциала, отличается наименьшей полной энергией.

  Я хотел бы воспользоваться этим результатом, чтобы решить какую-нибудь частную задачу и показать вам, что все эти вещи имеют реальное практическое значение. Предположим, что я взял два проводника в форме цилиндрического конденсатора.

  

  Назван в честь Уильяма Гамильтона , использовавшего этот принцип для построения так называемого гамильтонова формализма в классической механике .

  Принцип стационарности действия - наиболее важный среди семейства экстремальных принципов . Не все физические системы имеют уравнения движения, которые можно получить из этого принципа, однако все фундаментальные взаимодействия ему подчиняются, в связи с чем этот принцип является одним из ключевых положений современной физики. Получаемые с его помощью уравнения движения имеют название уравнений Эйлера - Лагранжа .

  Первую формулировку принципа дал П. Мопертюи (фр. P. Maupertuis ) в 1744 году , сразу же указав на его универсальную природу и считая его приложимым к оптике и механике. Из данного принципа он вывел законы отражения и преломления света.

  В 1746 году Мопертюи в новой работе согласился с мнением Эйлера и провозгласил самую общую версию своего принципа: «Когда в природе происходит некоторое изменение, количество действия, необходимое для этого изменения, является наименьшим возможным. Количество действия есть произведение массы тел на их скорость и на расстояние, которое они пробегают». В развернувшейся широкой дискуссии Эйлер поддержал приоритет Мопертюи и аргументировал всеобщий характер нового закона: «вся динамика и гидродинамика могут быть с удивительной легкостью раскрыты посредством одного только метода максимумов и минимумов».

  Новый этап начался в 1760-1761 годах, когда Жозеф Луи Лагранж ввёл строгое понятие вариации функции, придал вариационному исчислению современный вид и распространил принцип наименьшего действия на произвольную механическую систему (то есть не только на свободные материальные точки). Тем самым было положено начало аналитической механике. Дальнейшее обобщение принципа осуществил Карл Густав Якоб Якоби в 1837 году - он рассмотрел проблему геометрически, как нахождение экстремалей вариационной задачи в конфигурационном пространстве с неевклидовой метрикой. В частности, Якоби указал, что при отсутствии внешних сил траектория системы представляет собой геодезическую линию в конфигурационном пространстве.

  Необходимо заметить, что если из условий задачи принципиально можно найти закон движения, то это автоматически не означает, что можно построить функционал, принимающий стационарное значение при истинном движении. Примером может служить совместное движение электрических зарядов и монополей - магнитных зарядов - в электромагнитном поле . Их уравнения движения невозможно вывести из принципа стационарности действия. Аналогично некоторые гамильтоновы системы имеют уравнения движения, не выводимые из этого принципа.

  Тривиальные примеры помогают оценивать использование принципа действия через уравнения Эйлера-Лагранжа. Свободная частица (масса m и скорость v ) в евклидовом пространстве перемещается по прямой линии. Используя уравнения Эйлера-Лагранжа, это можно показать в полярных координатах следующим образом. В отсутствие потенциала функция Лагранжа просто равна кинетической энергии

  В квантовой теории поля принцип стационарности действия также успешно применяется. В лагранжеву плотность здесь входят операторы соответствующих квантовых полей. Хотя правильнее тут в сущности (за исключением классического предела и отчасти квазиклассики) говорить не о принципе стационарности действия, а о фейнмановском интегрировании по траекториям в конфигурационном или фазовом пространстве этих полей - с использованием упомянутой только что лагранжевой плотности.

  Более широко, под действием понимают функционал, задающий отображение из конфигурационного пространства на множество вещественных чисел и, в общем, он не обязан быть интегралом, потому что нелокальные действия в принципе возможны, по крайней мере, теоретически. Более того, конфигурационное пространство не обязательно является функциональным пространством , потому что может иметь

• 3.1.Научные революции в истории естествознания
• 3.2. Первая научная революция. Гелиоцентрическая система мира. Учение о множественности миров
• 3.3. Вторая научная революция. Создание классической механики и экспериментального естествознания. Механическая картина мира
• 3.4. Химия в механистическом мире
• 3.5. Естествознание Нового времени и проблема философского метода
• 3.6. Третья научная революция. Диалектизация естествознания
• 3.7. Очищение естествознания
• 3.8. Исследования в области электромагнитного поля и начало крушения механистической картины мира
• I Естествознание XX века
• 4.1.Четвертая научная революция. Проникновение в глубь материи. Теория относительности и квантовая механика. Окончательное крушение механистической картины мира
• 4.2. Научно-техническая революция, ее естественнонаучная составляющая и исторические этапы
• 4.3. Панорама современного естествознания 4.3.1. Особенности развития науки в XX столетии
• 4.3.2. Физика микромира и мегамира. Атомная физика
• 4.3.3. Достижения в основных направлениях современной химии
• 4.3.4. Биология XX века: познание молекулярного уровня жизни. Предпосылки современной биологии.
• 4.3.5. Кибернетика и синергетика
• Раздел III
• I Пространство и время
• 1.1.Развитие представлений о пространстве и времени в доньютоновский период
• 1. 2. Пространство и время
• 1.3. Дальнедействиеи близкодействие. Развитие понятия «поля»
• 2.1.Принцип относительности Галилея
• 2.2. Принцип наименьшего действия
• 2.3. Специальная теория относительности а. Эйнштейна
• 1. Принцип относительности: все законы природы оди­ наковы во всех инерциальных системах отсчета.
• 2.4. Элементы общей теории относительности
• 3. Закон сохранения энергии в макроскопических процессах
• 3.1. «Живая сила»
• 3.2. Работа в механике. Закон сохранения и превращения энергии в механике
• 3.3. Внутренняя энергия
• 3.4. Взаимопревращения различных видов энергии друг в друга
• 4. Принцип возрастания энтропии
• 4.1. Идеальный цикл Карно
• 4.2. Понятие энтропии
• 4.3. Энтропия и вероятность
• 4.4. Порядок и хаос. Стрела времени
• 4.5. «Демон Максвелла»
• 4.6. Проблема тепловой смерти Вселенной. Флуктуационная гипотеза Больцмана
• 4.7. Синергетика. Рождение порядка из хаоса
• I Элементы квантовой физики
• 5.1. Развитие взглядов на природу света. Формула Планка
• 5.2. Энергия, масса и импульс фотона
• 5.3. Гипотеза де Бройля. Волновые свойства вещества
• 5.4. Принцип неопределенности Гейзенберга
• 5.5. Принцип дополнительности Бора
• 5.6. Концепция целостности в квантовой физике. Парадокс Эйнштейна-Подольского-Розена
• 5.7. Волны вероятности. Уравнение Шредингера. Принцип причинности в квантовой механике
• 5.8. Состояния физической системы. Динамические и статистические закономерности в природе
• 5.9. Релятивистская квантовая физика. Мир античастиц. Квантовая теория поля
• I На пути построения единой теории поля 6.1. Теорема Нетер и законы сохранения
• 6.2. Понятие симметрии
• 6.3. Калибровочные симметрии
• 6.4. Взаимодействия. Классификация элементарных частиц
• 6.5. На пути к единой теории поля. Идея спонтанного нарушения симметрии вакуума
• 6.6. Синергетическое видение эволюции Вселенной. Историзм физических объектов. Физический вакуум как исходная абстракция в физике
• 6.7. Антропный принцип. «Тонкая подстройка» Вселенной
• Раздел IV
• 1. Химия в системе "общество-природа"
• I Химические обозначения
• Раздел V
• I Теории возникновения жизни
• 1.1. Креационизм
• 1.2. Самопроизвольное (спонтанное) зарождение
• 1.3. Теория стационарного состояния
• 1.4. Теория панспермии
• 1.5. Биохимическая эволюция
• 2.1. Теория эволюции Ламарка
• 2.2. Дарвин, Уоллес и происхождение видов в результате естественного отбора
• 2.3. Современное представление об эволюции
• 3.1. Палеонтология
• 3.2. Географическое распространение
• 3.3. Классификация
• 3.4. Селекция растений и животных
• 3.5. Сравнительная анатомия
• 3.6. Адаптивная радиация
• 3.7. Сравнительная эмбриология
• 3.8. Сравнительная биохимия
• 3.9. Эволюция и генетика
• Раздел VI. Человек
• I Происхождение человека и цивилизации
• 1.1.Возникновение человека
• 1.2. Проблема этногенеза
• 1.3. Культурогенез
• 1.4. Появление цивилизации
• I Человек и биосфера
• 7.1.Концепция в.И. Вернадского о биосфере и феномен человека
• 7.2. Космические циклы
• 7.3. Цикличность эволюции. Человек как космическое существо
• I оглавление
• Раздел I. Научный метод 7
• Раздел II. История естествознания 42
• Раздел III. Элементы современной физики 120
• Раздел IV. Основные понятия и представления химии246
• Раздел V.. Возникновение и эволюция жизни 266
• Раздел VI. Человек 307
• 344007, Г. Ростов-на-Дону,
• 344019, Г. Ростов-на-Дону, ул. Советская, 57. Качество печати соответствует предоставленным диапозитивам.

2.2. Принцип наименьшего действия

В XVIII веке происходит дальнейшее накопление и систематизация научных результатов, отмеченные тенден­цией объединения отдельных научных достижений в стро­го упорядоченную, связную картину мира с помощью систематического применения методов математическо­го анализа к исследованию физических явлений. Рабо­та многих блестящих умов в этом направлении привела к созданию базисной теории механистической исследова­тельской программы - аналитической механики, на осно­ве положений которой были созданы различные фунда­ментальные теории, описывающие конкретный класс конк-

ретных явлений: гидродинамика, теория упругости, аэро­динамика и т. д. Одним из важнейших результатов ана­литической механики является принцип наименьшего действия (вариационный принцип), имеющий важное зна­чение для понимания процессов, происходящих в физике конца XX века.

Корни возникновения вариационных принципов в на­уке уходят в Древнюю Грецию и связаны с именем Геро-на из Александрии. Идея любого вариационного принци­па состоит в том, чтобы варьировать (изменять) некоторую величину, характеризующую данный процесс, и отбирать из всех возможных процессов тот, для которого данная вели­чина принимает экстремальное (максимальное или мини­мальное) значение. Герон попытался объяснить законы отражения света, варьируя величину, характеризующую длину пути, проходимым лучом света от источника к на­блюдателю при отражении его от зеркала. Он пришел к выводу, что из всех возможных путей луч света выбирает кратчайший (из всех геометрически возможных).

В XVII веке, спустя две тысячи лет, французский мате­матик Ферма обратил внимание на принцип Герона, распро­странил его для сред с различными показателями прелом­ления, переформулировав его в связи с этим в терминах времени. Принцип Ферма гласит: в преломляющей среде, свойства которой не зависят от времени, световой луч, про­ходя через две точки, выбирает себе такой путь, чтобы вре­мя, необходимое ему для прохождения от первой точки ко второй, было минимальным. Принцип Герона оказывается частным случаем принципа Ферма для сред с постоянным коэффициентом преломления.

Принцип Ферма привлек пристальное внимание со­временников. С одной стороны, он как нельзя лучше сви­детельствовал о «принципе экономии» в природе, о ра­циональном божественном замысле, реализованном в уст­ройстве мира, с другой - он противоречил ньютоновской корпускулярной теории света. Согласно Ньютону получа­лось, что в более плотных средах скорость света должна быть больше, в то время как из принципа Ферма вытека­ло, что в таких средах скорость света становится меньшей.

В 1740 году математик Пьер Луи Моро де Мопертюи, критически анализируя принцип Ферма и следуя теоло-

гическим мотивам о совершенстве и наиболее экономном устройстве Вселенной, провозгласил в работе «О различ­ных законах природы, казавшихся несовместимыми» принцип наименьшего действия. Мопертюи отказался от наименьшего времени Ферма и ввел новое понятие - дей­ствие. Действие равняется произведению импульса тела (количества движения Р = mV) на пройденный телом путь. Время не имеет какого-либо преимущества перед простран­ством, равно как и наоборот. Поэтому свет выбирает не кратчайший путь и не наименьшее время для его прохож­дения, а согласно Мопертюи, «выбирает путь, дающий бо­лее реальную экономию: путь, по которому он следует, - это путь, на котором величина действия минимальна». Принцип наименьшего действия в дальнейшем был развит в работах Эйлера и Лагранжа; он явился основой, на ко­торой Лагранж развил новую область математического анализа - вариационное исчисление. Дальнейшее обобще­ние и завершенную форму этот принцип получил в рабо­тах Гамильтона. В обобщенном виде принцип наименьше­го действия использует понятие действия, выраженного не через импульс, а через функцию Лагранжа. Для случая од­ной частицы, движущейся в некотором потенциальном поле, функция Лагранжа может быть представлена как разность кинетическойи потенциальной энергии:

(Понятие «энергия» подробно обсуждается в главе 3 настоящего раздела.)

Произведениеназывается элементарным действи­ем. Полным действием называется сумма всех значений на всем рассматриваемом интервале времен, иными словами, полное действие А:



Уравнения движения частицы могут быть получены с помощью принципа наименьшего действия, согласно которо­му реальное движение происходит так, что действие оказы­вается экстремальным, то есть его вариация обращается в 0:



Вариационный принцип Лагранжа-Гамильтона легко допускает распространение на системы, состоящие из не-

скольких (множества) частиц. Движение таких систем обыч­но рассматривают в абстрактном пространстве (удобный ма­тематический прием) большого числа измерений. Скажем, для N точек вводят некоторое абстрактное пространство 3N координат N частиц, образующих систему, называемую конфи­гурационным пространством. Последовательность различных состояний системы изображается кривой в этом конфигу­рационном пространстве - траекторией. Рассматривая все возможные пути, соединяющие две заданные точки это­го 3N-Mepнoгo пространства, можно убедиться, что реаль­ное движение системы происходит в соответствии с прин­ципом наименьшего действия: среди всех возможных тра­екторий реализуется та, для которой действие экстремально по всему интервалу времени движения.

При минимизации действия в классической механике получают уравнения Эйлера-Лагранжа, связь которых с законами Ньютона хорошо известна. Уравнения Эйлера-Лагранжа для лагранжиана классического электромагнит­ного поля оказываются уравнениями Максвелла. Таким образом, мы видим, что использование лагранжиана и прин­ципа наименьшего действия позволяет задавать динамику частиц. Однако лагранжиан обладает еще одной важной особенностью, что и сделало лагранжев формализм основ­ным в решении практически всех задач современной фи­зики. Дело в том, что наряду с ньютоновской механикой в физике уже в XIX веке были сформулированы законы со­хранения для некоторых физических величин: закон со­хранения энергии, закон сохранения импульса, закон сохра­нения момента импульса, закон сохранения электрическо­го заряда. Число законов сохранения в связи с развитием квантовой физики и физики элементарных частиц в на­шем столетии стало еще больше. Возникает вопрос, как найти общую основу для записи как уравнений движения (скажем, законов Ньютона или уравнений Максвелла), так и сохраняющихся во времени величин. Оказалось, что та­кой основой является использование лагранжева форма­лизма, ибо лагранжиан конкретной теории оказывается инвариантным (неизменным) относительно преобразований, соответствующих конкретному рассматриваемому в данной теории абстрактному пространству, следствием чего и яв­ляются законы сохранения. Эти особенности лагранжиа-

на привели к целесообразности формулировки физических теорий на языке лагранжианов. Осознание этого обстоя­тельства пришло в физику благодаря возникновению тео­рии относительности Эйнштейна.

5. Принцип наименьшего действия

Уравнения динамики материальной точки в поле сил, обладающих потенциалом, можно получить, исходя из принципа, который в общем виде носит название принципа Гамильтона, или принципа стационарного действия. Согласно этому принципу, из всех движений материальной точки, которые она может совершить между теми же начальной и конечной точками за тот же самый промежуток времени t2…t1 в действительности осуществляется то движение, для которого интеграл по времени от t1 до t2 от разности кинетической и потенциальной энергий этой материальной точки принимает экстремальное, т е. минимальное или максимальное значение. Пользуясь известными методами вариационного исчисления, легко показать, что из этого принципа вытекают классические уравнения движения.

Особенно простую форму принимает принцип стационарного действия в частном, но важном случае статических силовых полей. В этом случае он совпадает с принципом наименьшего действия Мопертюи, согласно которому для действительного пути материальной точки в консервативном (т е. не зависящем явно от времени) силовом поле интеграл от импульса частицы, взятый по отрезку траектории между какими-либо двумя ее точками A и B, минимален по сравнению с такими же интегралами, взятыми по отрезкам других кривых, проведенных через точки A и B. Принцип Мопертюи может быть выведен из принципа Гамильтона. Его можно связать также с теорией Якоби.

Мы видели, что в случае статических полей траектории в этой теории можно рассматривать как кривые, ортогональные некоторому семейству поверхностей. Простые рассуждения показывают, что эти траектории могут быть получены из условия минимальности интеграла, совпадающего с действием по Мопертюи, т е. криволинейного интеграла от количества движения вдоль траектории. Вывод этот весьма интересен, так как он указывает на связь, существующую между принципом наименьшего действия и принципом минимального времени Ферма.

Действительно, мы уже говорили о том, что траектории в теории Якоби можно рассматривать как аналог световых лучей в геометрической оптике. Анализ же доводов, приводимых в доказательство принципа наименьшего действия, показывает, что они полностью идентичны тем, которые в геометрической оптике приводятся для обоснования принципа минимального времени, или принципа Ферма. Вот его формулировка: в преломляющей среде, свойства которой не зависят от времени, световой луч, проходящий через точки A и B, выбирает себе такой путь, чтобы время, необходимое ему для прохождения от точки A до точки B, было минимальным, т е. следует по кривой, которая обращает в минимум криволинейный интеграл от величины обратной фазовой скорости распространения света. Теперь сходство между принципом Мопертюи и принципом Ферма очевидно.

Однако между ними существует и важное различие. В принципе наименьшего действия подынтегральное выражение совпадает с импульсом частицы и, таким образом, интеграл имеет размерность действия (произведения энергии на время или импульса на путь). В принципе же Ферма подынтегральное выражение, наоборот, обратно пропорционально скорости распространения. Именно по этой причине аналогия между этими двумя принципами в течение длительного времени рассматривалась как чисто формальная, не имеющая под собой никакого глубокого физического обоснования. Более того, казалось даже, что с физической точки зрения между ними имеется существенное различие, поскольку импульс прямо пропорционален скорости и, следовательно, подынтегральное выражение в принципе Мопертюи содержит скорость в числителе, тогда как в принципе Ферма она в знаменателе. Это обстоятельство сыграло важную роль в эпоху, когда волновая теория света, вызванная к жизни гением Френеля, завершала свою победу над теорией истечения. Полагали как раз, что, исходя из различной зависимости от скорости подынтегральных выражений, входящих в интегралы Мопертюи и Ферма, можно сделать вывод, что известные эксперименты Фуко и Физо, согласно которым скорость распространения света в воде меньше скорости света в пустоте, дают неопровержимые и решающие аргументы в пользу волновой теории. Однако, опираясь на это различие и объясняя опыты Фуко и Физо как подтверждение факта существования световых волн, предполагали, что вполне законно отождествлять скорость материальной точки, фигурирующую в принципе Мопертюи, со скоростью распространения волн, входящей в интеграл Ферма, Волновая механика показала, что всякой движущейся материальной точке соответствует волна, скорость распространенная которой меняется обратно пропорционально скорости частицы. Только волновая механика действительно пролила свет на природу глубокого родства между двумя фундаментальными принципами и вскрыла его физический смысл. Она показала также, что эксперимент Физо не столь решающий, как это считалось раньше. Хотя он и доказывает, что распространение света есть распространение волн и что показатель преломления необходимо определять через скорость распространения, но он совсем не исключает возможности корпускулярной структуры света при условии, конечно, соответствующей связи между волнами и частицами света. Однако это уже относится к кругу вопросов, которые мы будем обсуждать ниже.

Сравнивая движение материальной точки в поле сил, не зависящем от времени, с распространением волн в преломляющих средах, состояние которых также не зависит от времени, мы показали, что между принципами Мопертюи и Ферма существует определенная аналогия. Сравнивая движение материальной точки в переменных во времени силовых полях с распространением волн в преломляющих средах с параметрами, меняющимися во времени, замечаем, что аналогия между принципом наименьшего действия в его общем виде, предложенном Гамильтоном, и принципом Ферма, обобщенном на случай преломляющих сред, состояние которых зависит от времени, сохраняется и в этом, более общем случае. Не будем останавливаться на этом вопросе. Для нас достаточно будет лишь, что эта аналогия между двумя основными принципами механики и геометрической оптики имеет место не только в рассмотренном нами выше, хотя и очень важном, но все же частном случае постоянных полей, но и в более общем случае переменных полей.

Принцип стационарного действия справедлив и для систем материальных точек. Для его формулировки нам удобно вести конфигурационное пространство, соответствующее рассматриваемой системе. В качестве примера ограничимся случаем, когда потенциальная энергия системы не зависит явно от времени. Таков, например, случай изолированной системы, на которую не действуют внешние силы, поскольку потенциальная энергия ее при этом сводится только к энергии взаимодействия и не зависит явно от времени. В этом случае, вводя 3N-мерное конфигурационное пространство и вектор в этом пространстве, 3N компонент которого совпадает с компонентами векторов количеств движения N материальных точек системы, принцип наименьшего действия в форме Мопертюи можно сформулировать следующим образом. Траектория изображающей точки системы, проходящая через две заданные точки A и B в конфигурационном пространстве, делает минимальным криволинейный интеграл от введенного выше 3N-мерного вектора, взятый по отрезку траектории между точками A и B, по сравнению с такими же интегралами, взятыми по отрезкам других кривых в конфигурационном пространстве, проходящих через те же точки A и B. Этот принцип легко получить также из теории Якоби. Аналогия же его с принципом Ферма следует из возможности представления траекторий изображающей точки в конфигурационном пространстве в виде лучей волны, распространяющейся в этом пространстве. Итак, мы снова видим, что для систем материальных точек переход от классической механики к волновой можно осуществить лишь в рамках абстрактного конфигурационного пространства.

Из книги Революция в физике автора де Бройль Луи

1. Принцип относительности Прежде чем говорить о развитии наших представлений о квантах, нельзя не посвятить короткую главу теории относительности.Теория относительности и кванты – это два столпа современной теоретической физики, и, хотя эта книга посвящена теории

Из книги Тайны пространства и времени автора Комаров Виктор

2. Теория излучения черного тела. Квант действия Планка Начало развитию квантовой теории положили относящиеся к 1900 г. работы Макса Планка по теории излучения черного тела. Попытка построить теорию излучения черного тела на основе законов классической физики привела к

Из книги Молния и гром автора Стекольников И С

3. Развитие гипотезы Планка. Квант действия При построении своей теории равновесного теплового излучения Планк исходил из предположения, что вещество представляет собой совокупность электронных осцилляторов, при посредстве которых и происходит обмен энергией между

Из книги Теория относительности для миллионов автора Гарднер Мартин
Из книги Движение. Теплота автора Китайгородский Александр Исаакович

3. Прибор для наблюдения действия электричества - электроскоп Чтобы узнать, заряжен ли какой-нибудь предмет электричеством, пользуются простым прибором, который называется электроскопом. Электроскоп основан на том свойстве электричества, о котором только что

Из книги История лазера автора Бертолотти Марио

III. Действия, производимые молнией 1. Как часто возникает молния? Не везде на земле грозы бывают одинаково часто.В некоторых жарких, тропических местах грозы происходят круглый год - почти каждый день. В других же местах, расположенных в северных районах, грозы бывают

Из книги Атомная проблема автора Рэн Филипп
Из книги Новый ум короля [О компьютерах, мышлении и законах физики] автора Пенроуз Роджер

Принцип эквивалентности В предыдущей главе мы отыскали «разумную точку зрения» на движение. Правда, «разумных» точек зрения, которые мы назвали инерциальными системами, оказалось бесконечное множество.Теперь, вооруженные знанием законов движения, мы можем

Из книги 6. Электродинамика автора Фейнман Ричард Филлипс

Коэффициент полезного действия При помощи различных машин можно заставить источники энергии производить различную работу – поднимать грузы, двигать станки, перевозить грузы и людей.Можно подсчитать количество энергии, вложенной в машину, и значение полученной от нее

Из книги автора

Принцип исключения Несмотря на свои очевидные успехи, в 1924 г. «старая» квантовая теория, которая в течение нескольких предшествующих лет, казалось, дает методы и принципы, способные помочь, по крайней мере, представить основы атомной феноменологии, столкнулась с

Из книги автора

Глава II Принцип действия ядерных бомб Напомнив некоторые общие сведения из области ядерной физики, мы можем перейти к изложению принципа действия ядерных бомб.Все ядерные бомбы делятся на две большие группы: бомбы, основанные на реакции деления, называемые иногда

Из книги автора

II. Защита от поражающего действия ядерных бомб 1. Защита от светового излучения.Самая надежная защита от светового излучения заключается в том, чтобы не быть застигнутым вспышкой врасплох. Мы уже говорили, что световое излучение распространяется прямолинейно и

Из книги автора

Глава VIII Принцип действия и возможности ядерного реактора I. Устройство ядерного реактора Ядерный реактор состоит из следующих пяти основных элементов:1) ядерного горючего;2) замедлителя нейтронов;3) системы регулирования;4) системы охлаждения;5) защитного

Из книги автора
Из книги автора
Из книги автора

Глава 19 ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ Добавление, сделанное после лекцииКогда я учился в школе, наш учитель фи­зики, по фамилии Бадер, однажды зазвал меня к себе после урока и сказал: «У тебя вид такой, как будто тебе все страшно надоело; послу­шай-ка об одной интересной

Напечатать