Системное описание задачи принятия решений. Математические методы системного анализа и принятия решений Функции математических методов анализа и принятия решений

Наиболее общий подход к описанию задач принятия решений (ЗПР) формулируется «на языке систем». Приведем системное описание задач принятия решений.

Пусть имеется некоторая система, в которой выделена управляемая подсистема (объект управления), управляющая подсистема и среда. Управляющая подсистема может воздействовать на объект управления с помощью альтернативных управляющих воздействий (рис. 1.2). Состояние объекта управления определяется двумя факторами: выбранным управляющим воздействием со стороны управляющей подсистемы и состоянием среды. Принципиальным является следующее обстоятельство: управляющая подсистема не может воздействовать на среду и, более ��ого, она, как правило, не имеет полной информации о наличном состоянии среды.

Управляющая подсистема является целенаправленной, причем цель управляющей подсистемы состоит в том, чтобы перевести объект управления в наиболее предпочтительное для себя состояние (или в некоторое подмножество предпочтительных состояний). Для достижения этой цели управляющая подсистема может использовать любое находящееся в ее распоряжении управляющее воздействие.

Выбор управляющей подсистемой конкретного управляющего воздействия (выбор допустимой альтернативы) называется принятием решения.

При принятии решения основной задачей является нахождение оптимального решения. На содержательном уровне оптимальное решение может быть определено как наилучшее в следующем смысле: оно в наибольшей степени соответствует цели управляющей подсистемы в рамках имеющейся у ней информации о состоянии среды.

Математическая модель принятия решений

Математическая модель принятия решения представляет собой формализацию той схемы, которая приведена в системном описании ЗПР. Для построения математической модели принятия решения необходимо задать следующие три множества:

X – множество допустимых альтернатив,

Y – множество возможных состояний среды,

А – множество возможных исходов.

В системном описании ЗПР альтернативы интерпретируются как управляющие воздействия, а исходы – как состояния управляемой подсистемы.

Варианты действий принято называть альтернативами.

Так как состояние управляемой подсистемы полностью определяется выбором управляющего воздействия и состоянием среды, то каждой паре (х, у) , гдех ∈X иу ∈Y , соответствует определенный исхода ∈А . Другими словами, существует функцияF :X хY →А , которая называется функцией реализации. Функция реализации каждой паре вида (альтернатива, состояние среды) ставит в соответствие определяемый ею исход.

Набор объектов (X ,Y ,A , F ) составляет реализационную структуру ЗПР. Реализационная структура отражает связь между выбираемыми альтернативами и исходами.

Реализационная структура задачи принятия решения составляет ее первую компоненту. Вторая компонента ЗПР называется ее оценочной структурой. Если реализационная структура определяет возникающий результат, то оценочная структура указывает оценку этого результата с точки зрения принимающего решение.

В математической модели ЗПР оценочная структура может задаваться различными способами.

Например, если принимающий решение может оценить эффективность (равнозначные по смыслу термины: «полезность», «ценность») каждого исхода а ∈А некоторым числомφ (а ), то оценочная структура задается в виде пары (A ,φ ), гдеφ :А → R ; при этомφ называется оценочной функцией.

Другой способ задания оценочной структуры состоит в указании отношения предпочтения исходов, что сводится к перечислению пар исходов a 1 ,a 2 , для которыха 1 лучше, чема 2 (это записывается в видеa 1 a 2 и читается «а 1 почтительней, чема 2 ».

Еще один способ задания оценочной структуры – разбиение множества исходов А на два класса:А 0 – класс «плохих» исходов иА 1 – класс «хороших» исходов.

Существуют и другие способы задания оценочной структуры. Наиболее распространенным является задание оценочной структуры в виде оценочной функции φ .

Целевая функция f есть композиция функции реализацииF и оценочной функцииφ , т.е.f =φ ○F . Таким образом,f (x,y )=φ (F (x,y )). Целевая функция имеет следующий содержательный смысл: числоf(x,у) есть оценка полезности (с точки зрения принимающего решение) того исхода, который возникает в ситуации, когда он выбирает альтернативух , а среда принимает состояниеу .

Замечание. В некоторых задачах принятия решения оценка исхода характеризует его в негативном смысле, являясь выражением затрат, убытков и т.п. В этом случае целевая функция f называется функцией потерь.

Учитывая, что постановки задач, а также применяемые методы их решения, существенно зависят от степени неопределенности параметров анализируемой системы и состояния внешней среды, то общепринятой является классификация задач ТПР, представленная на рис. 1.3.

Рис. 1.3.

Задачи первого типа характеризуются тем, что все параметры анализируемой системы и внешней среды являются детерминированными, а искомые решения – непрерывными либо дискретными. Наиболее известными и распространенными из задач с дискретными значениями переменных являются: задача коммивояжера; задача о минимальном покрытии графа; минимаксная задача о назначениях. В частности, задача выбора состава тиражируемых пакетов программ, соответствующих требованиям пользователей к функциональным возможностям системы, сводится к задаче о минимальном покрытии графа, а задача конструирования топологии локальной вычислительной сети (ЛВС) кольцевой структуры стандарта Token Ring – к известной задаче коммивояжера.

Для решения этих задач используются алгоритмы Гомори, ветвей и границ, динамического программирования, эвристические алгоритмы, методы случайного поиска и др. В последнее время применяются алгоритмы отжига, генетические алгоритмы и нейронные сети.

Второй тип задач относится к задачам принятия решений в условиях риска и характеризуется тем, что для ряда параметров неизвестны точные значения, а определены диапазоны их изменений и на каждом из диапазонов заданы плотности распределения случайных величин. Необходимо выбрать такое решение, которое для заданных распределений вероятностей обеспечивает экстремум показателя эффективности. В качестве показателя эффективности выбирается либо среднее значение, либо комбинация среднего значения и дисперсии. Наиболее известными задачами второго типа являются задачи управления запасами, управления Марковскими процессами, анализа и синтеза систем массового обслуживания и др.

Третий тип задач характеризуется тем, что для каждого из параметров заданы возможные дискретные значения и для них определены значения показателя эффективности, соответствующие каждому из вариантов альтернативных решений, т.е. исходная задача представляется в виде таблицы, в которой строки соответствуют альтернативным решениям, а столбцы – дискретным значениям параметров.

Необходимо отметить, что в задачах этого типа отсутствует информация о распределении вероятностей для значений параметров.

Четвертый тип задач характеризуется тем, что принятие решений системным аналитиком производится в условиях конкуренции противоборствующих сторон. В качестве схемы принятия решений используется игровая модель.

Необходимо отметить, что перечисленные типы задач могут быть как однокритериальными, так и многокритериальными. В многокритериальных задачах аналитик при выборе альтернативы стремится улучшить значения двух и более показателей.

Из различных методов принятия экономических решений можно выделить наиболее распространенные: математическое программирование; теория игр; теория статистических решений; теория массового обслуживания; метод причинно-следственного анализа; использование модели

Математическое программирование представляет собой теоретические принципы и аналитические методы решения задач, в которых происходит поиск экстремума (минимум или максимум) определенной функции при наличии ограничений, налагаемых на неизвестные. Особое место в математическом программировании занимает линейное программирование, которое наиболее разработанное и широко применяется на практике. Линейное программирование включает аналитические методы решения таких задач, в которых целевая функция и ограничения выражены в линейной форме, то есть неизвестные входящих в целевой функции и ограничения должны первая ступень. Задачи, в которых отыскиваются максимальное и минимальное значение линейной функции при линейных ограничениях, называются задачами линейного программирования.

В зависимости от вида целевой функции и системы ограничений методы математического программирования делят на

линейное программирование - целевая функция и функции ограничений, входящих в систему ограничений являются линейными (уравнение первого порядка)

нелинейное программирование - целевая функция или одна из функций ограничений, входящих в систему ограничений являются нелинейными (уравнение высших порядков)

Целочисленное (дискретное) программирования - если хотя бы одну переменную наложен условие целочисленности;

динамическое программирование - если параметры целевой функции и / или система ограничений меняются во времени или целевая функция имеет аддитивный / мулиишгикативний вид или сам процесс принятия решения масс многошаговый характер.

В зависимости от сведения информация о процессе заранее, в методы математического программирования делят на

Стохастическое программирование - известна не вся информация о процессе заранее: параметры входящих в целевую функцию или в функцию ограничений являются случайными или приходится принимать решения в условиях риска

Детерминировано программирования - известна вся информация о процессе заранее.

В зависимости от количества целевых функций задачи делятся на:

Однокритериальной;

Багатокритериапьни.

Линейное программирование объединяет теорию и методы решения класса задач, в которых определяется совокупность значений переменных величин, которые удовлетворяют заданным линейным ограничением и максимизируя (или минимизирующая) некоторую линейную функцию. То есть, задачами линейного программирования являются такие оптимизационные задачи, в которых целевая функция и функциональные ограничения - линейные функции, принимают любые значения из некоторого множества значений.

Для задач линейного программирования разработаны многочисленные методы решения и соответствующее математическое обеспечение для различных ситуаций. Для решения задач линейного программирования используется несколько методов, среди которых наиболее распространенными являются симплекс-метод и графический метод.

Наиболее удобный метод для решения подобных задач является симплекс метод, который позволяет отталкиваясь от исходного варианта решения задач, за определенное количество шагов получить оптимальный вариант. Каждый из этих шагов (итераций) заключается в нахождении нового варианта, которому соответствует наибольшее (при решении задач на максимум) или меньше (при решении задач на минимум) значения линейной функции, чем значение этой же функции в предыдущем варианте. Процесс повторяется пока не будет получено оптимальный вариант решения, которое имеет экстремальное значение.

Таким образом, можно считать, что оптимальным является план, который обеспечивает максимальный производственной эффект при заданном объеме материальных, сырьевых, трудовых ресурсов. Максимальный производственный эффект определяется критерием оптимизации, который и определяет целевую функцию.

Наиболее типичными задачами, для решения которых используют симплекс-метод, являются: оптимальное планирование на предприятиях (планирование ассортиментного выпуска продукции), оптимальный набор исходного сырья, эффективное использование сырьевых, материальных, трудовых, финансовых и энергетических ресурсов, задачи оптимизации организации производства (транспортная задача).

Оптимизация производственной программы (ассортиментные задачи) на предприятиях представляют собой группу задач, в которых определяют производственную программу с учетом влияния на предприятия внутренних факторов (возможностей оборудования, лимитов сырья, трудовых факторов) и некоторых внешних требований (спрос по товарной продукции в целом или отдельных ии ассортиментных групп и видов, средней цены ассортимента, который выпускается и т.д.).

Основные этапы постановки и решения задачи оптимизации производственной программы:

1) построение экономико-математической модели: сбор информации, подготовка ее для построения модели; выбор критерия оптимизации; выбор ограничений и построение их в общем виде; аналитический и табличный вид модели с реальными коэффициентами;

2) нахождение оптимального решения задачи;

3) анализ результатов решения и практические рекомендации.

В оптимальном плане выпуска продукции выбор критериев оптимизации осуществляется в соответствии с целью решения задачи. Критерием оптимизации могут быть разные стоимостные и натуральные показатели. Кроме функции цели, в модели используются ограничения, так как ресурсы, которыми располагает предприятие, в большинстве случаев ограничены, а также ассортиментный выпуск должен рассчитываться с учетом спроса на продукцию. Ограничения избираются в зависимости от ресурсов, которые используются для выпуска производственной программы предприятия.

Эффективность задачи и оптимальность полученного ассортимента оценивается с помощью систем экономических показателей (изменение объемов производства продукции в натуральном и стоимостном выражении, снижение затрат на производство продукции, увеличение прибыли и рентабельности, уменьшение затрат на 1 руб., Использование сырья и т.д.).

Теория игр изучает количественные закономерности в конфликтных ситуациях. Основной целью теории игр является выработка или количественное обоснование рекомендаций по выбору наиболее рационального решения в конфликтных ситуациях. В экономических исследованиях конфликтными ситуациями называются такие ситуации, когда возникает необходимость выбора рационального решения из двух или более взаимоисключающих вариантов.

Теория статистических решений, которая использует методы изучения процессов и явлений, которые очень подвергаются воздействию случайных, неопределенных факторов, в основе данной теории составляет теория вероятности.

Теория массового обслуживания, изучает закономерности процессов массового обслуживания и на их основе разрабатывает эффективные методы управления системами обслуживания. Методы теории массового обслуживания позволяют рационально организовать процесс обслуживания и обеспечить наиболее эффективное функционирование системы массового обслуживания (сокращение времени ожидания обслуживания, снижение затрат на обслуживание). Основу теории массового обслуживания составляют теория вероятности и математическая статистика.

Дерево принятия решений (также могут называться деревьями классификаций или регрессионного деревьями) - используется в области статистики и анализа данных для прогнозных моделей. Структура дерева содержит следующие элементы: "листья" и "ветви". На ребрах («ветвях») дерева принятия решения записаны атрибуты, от которых зависит целевая функция, в "письме" записаны значения целевой функции, а в других узлах - атрибуты, по которым различаются случаи. Чтобы классифицировать новый случай, надо спуститься по дереву до листа и выдать соответствующее значение. Подобные деревья решений широко используются в интеллектуальном анализе данных. Цель состоит в том, чтобы создать модель, которая прогнозирует значение целевой переменной на основе нескольких переменных на входе.

Каждый лист представляет собой значение целевой переменной, измененной в ходе движения от корня по листу. Каждый внутренний узел соответствует одной из входных переменных. Дерево может быть также "изучено" разделением выходных наборов переменных на подмножества, основанные на тестировании значений атрибутов. Это процесс, который повторяется на каждом из полученных подмножеств. Рекурсия завершается тогда, когда подмножество в узле имеет те же значения целевой переменной, таким образом, оно не добавляет ценности для предсказаний. Процесс, идущий "сверху вниз", индукция деревьев решений (TDIDT), является примером поглощающего "жадного" алгоритма, и на сегодняшний день является наиболее распространенной стратегией деревьев решений для данных, но это не единственная возможная стратегия. В интеллектуальном анализе данных, деревья решений могут быть использованы в качестве математических и вычислительных методов, чтобы помочь описать, классифицировать и обобщить набор данных, которые могут быть записаны следующим образом:

Зависимая переменная Y является целевой переменной, которую необходимо проанализировать, классифицировать и обобщить. Вектор х состоит из входных переменных Х1, x2, х3 и т.д., которые используются для выполнения этой задачи.

В анализе решений "дерево решений" используются как визуальный и аналитический инструмент поддержки принятия решений, где рассчитываются ожидаемые значения (или ожидаемая полезность) конкурирующих альтернатив.

Дерево решений состоит из трех типов узлов.

1. Узлы решение - обычно представлены квадратами.

2. Вероятностные узлы - представляются в виде круга.

3. Замыкающие узлы - представляются в виде треугольника.

На рис. 4.1, представленном ниже, дерево решений следует читать слева направо. Дерево решений не может содержать в себе циклические элементы, то есть каждый новый лист впоследствии может только расщепляться, отсутствуют сходятся пути. Таким образом, при конструировании дерева вручную, мы можем столкнуться с проблемой его размерности, поэтому, как правило, дерево решения мы можем получить с помощью специализированных программ. Обычно дерево решений представляется в виде символической схемы, благодаря которой его проще воспринимать и анализировать.

Рис. 4.1. дерево решений

Деревья решений, используемые в Data Mining, бывают двух основных тылов:

Анализ дерева классификации, когда прогнозируемый результат является классом, к которому относятся данные;

Регрессивный анализ дерева, когда прогнозируемый результат можно рассматривать как действительное число (например, цена на дом, или продолжительность пребывания пациента в больнице).

Упомянутые выше сроки впервые были использованы Брейман и др. Перечисленные типы имеют некоторые сходства, а также некоторые различия, такие, как процедура, используемая для определения, где разбивать. Некоторые методы позволяют построить более одного дерева решений:

Дерево решений "мешок", наиболее раннее дерево решений, строит несколько деревьев решений, неоднократно интерполирующая данные с заменой, и деревья голосований для прогноза консенсуса Случайный классификатор "лесной" использует ряд деревьев решений, с целью улучшения ставки классификации;

"Повышенные" дерева могут быть использованы для регрессивного типа и классификации типа проблем.

"Вращение леса» - деревья, в которых каждое дерево решений анализируется первым применением метода главных компонент (РСА) на случайные подмножества входных функций.

Общая схема построения дерева принятия решений по тестовым примерам выглядит следующим образом (по алгоритму рис. 4.2):

Рис. 4.2. Алгоритм построения дерева решений

Основной вопрос: как выбирать очередной атрибут? Есть разные способы выбирать очередной атрибут:

Алгоритм IDЗ, где выбор атрибута происходит на основании прироста информации (англ. Gain), или на основании коэффициент Джини.

Алгоритм С4.5 (улучшенная версия ID3), где выбор атрибута происходит на основании нормализованного прироста информации (англ. Gain Ratio).

Алгоритм CART и его модификации - IndCART, DB-CART.

Автоматический детектор взаимодействия Хи-квадрат (сил). Выполняет многоуровневый разделение при расчете классификации деревьев.

MARS: расширяет дерева решений для улучшения обработки цифровых данных.

На практике в результате работы этих алгоритмов часто получаются слишком детализированы дерева, которые при их дальнейшем применении дают много ошибок. Это связано с явлением переобучения. Для сокращения деревьев используется отсечение ветвей (англ. Pruning).

Регулировка глубины дерева - это техника, которая позволяет уменьшать размер дерева решений, удаляя участки дерева, которые имеют небольшой вес.

Один из вопросов, который возникает в алгоритме дерева решений - это оптимальный размер конечного дерева. Так, небольшое дерево может не охватить ту или иную важную информацию о выборочном пространства. Тем не менее, трудно сказать, когда алгоритм должен остановиться, потому что невозможно спрогнозировать, добавление которого узла позволит значительно уменьшить ошибку. Эта проблема известна как "эффект горизонта". Тем не менее, общая стратегия ограничения дерева сохраняется, то есть удаление узлов реализуется в том случае, если они не дают дополнительной информации.

Необходимо отметить, что регулирование глубины дерева должно уменьшить размер учебной модели дерева без уменьшения точности ее прогноза или с помощью перекрестной проверки. Есть много методов регулирования глубины дерева, которые отличаются измерением оптимизации производительности.

Сокращение дерева может осуществляться сверху вниз или снизу вверх. Сверху вниз - обрезка начинается с корня, снизу вверх - сокращается число листьев дерева. Один из самых простых методов регулирования - уменьшение ошибки ограничения дерева. Начиная с листьев, каждый узел заменяется на самый популярный класс. Если точность предсказания не влияет, то изменение сохраняется.

При принятии решений менеджер может использовать один из приведенных выше методов. Лучшие решения принимаются группой. Эффективность групповых решений во многом зависит от руководителя. С учетом умений, характера и настроения руководителя, его педагогических способностей, внимания к людям и других качеств психологи выделяют пять типов руководителей: диктатор, демократ, пессимист, организатор и манипулятор.

Метод, основанный на научно-практическом подходе, требует использования современных технических средств и прежде всего электронно вычислительной техники.

В целом проблема выбора руководителем решения - одна из важнейших в современной науке и практике управления.

Математические методы и модели в принятии решений

Введение!

Цель моделирования - процесс исследования объекта на разных уровнях - от качественного до точного количественного, по мере осуществления сбора информации и развития модели.

В математической области методы и модели понимаются как комплексные категории, которые в себя включают:

методы в принятии решений;

методы исследования операций;

экономико-математический методы;

методы экономической кибернетики;

методы оптимального управления;

прикладную математику в экономике;

прикладную математику в организации производства.

Этот список не является полным, что свидетельствует о широком диапазоне математических методов и моделей. В различных источниках, содержание которых касается представленной тематики, математические модели и методы рассматриваются в тех или иных сочетаниях.

Практическое доказательство обозначенной мысли возможно на примере известного метода «теории вероятностей», который представлен в рамках математических моделей широким классом и включает в себя такие понятия, как «вероятность», «случайное событие», «случайная величина», «математическое ожидание (среднее значение) случайной величины», «дисперсия (рассеяние)» и т.п. В конце XIX - начале XX вв. выделяется новый объект, который представляет собой коммутированную систему телефоной связи, подразумевающую такие понятия, как «заявка на соединение», «отказ», «время ожидания соединения», «коммутация» и тому подобные элеметы.

Математическая теоретико-вероятностная модель процессов в коммутированных телефонных сетях была образована в 20-х гг. в результате соединения представленного метода и объекта. Автором подобной операции стал А.К. Эрланг. В качестве примера существующих понятий данной модели можно отметить:

«поток заявок»;

«среднее время ожидания»;

«средняя длина очереди на обслуживание»;

«дисперсию времени ожидания»;

«вероятность отказа».

Последующее развитие этого научного направления продемонстрировало результативность понятийных категорий симбиозной модели, выявило ее масштабную конструктивную функцию.

Данная модель в процессе своего развития трансформировалась в метод исследования сложных систем. В качестве примера можно выделить «теорию массового обслуживания», категориальный аппарат которой перестал восприниматься как неотъемлемая составляющая телефонных сетей. Терминология и понятийная база приобрели общетеоретический характер. Так, организация новых моделей может осуществляться посредством применения теории массового обслуживания к таким объектам, как производственные процессы, операционные системы, ЭВМ, транспортные потоки и т.п.

В результате очевидным представляется вывод, что метод является в полной мере сформированным в случае развития однородной совокупности моделей. Степень исследования объекта же напрямую зависит от количества разработанных моделей объекта. Двойственная сущность модели формирует, в свою очередь, дуализм категориального аппарата моделирования, который интегрирует в себя понятия общие или специфичные, образованные от «метода» и «объекта», соответственно.

Иными словами, методы, модели, объекты организуют непрерывную последовательность, которая подразумевает наличие различных групп моделей, образующихся в соответствии со спецификой своего происхождения и применяемости. Среди таких групп можно выделить:

модели, которые предполагают взаимодействие раннее разработанных методов и новых объектов;

модели, впервые созданные с целью осуществления описания конкретного объекта, при этом новые модели могут быть применимы и по отношению к другим объектам.

Линейное программирование - математическая дисциплина, посвящённая теории и методам решения экстремальных задач на множествах n -мерного векторного пространства, задаваемых системами линейных уравнений и неравенств.

Целочисленное программирование - разновидность линейного программирования, подразумевающая, что искомые значения должны быть целыми числами.

Раздел математического программирования, в котором изучаются методы нахождения экстремумов функций в пространстве параметров, где все или некоторые переменные являются целыми числами.

Простейший метод решения задачи целочисленного программирования - сведение ее к задаче линейного программирования с проверкой результата на целочисленность.

Потоки в сетях

Деятельность современного общества тесно связана с разного рода сетями - возьмите, к примеру, транспорт, коммуникации, распределение товаров и тому подобное. Поэтому математический анализ таких сетей стал предметом фундаментальной важности.

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ - раздел , изучает определенный класс оптимизационных задач , встречающихся главным образом в инженерно-экономических расчетах. Основное требование метода состоит в том, чтобы все технические характеристики проектируемых объектов были выражены количественно в виде зависимостей от регулируемых параметров . Геометрическим такой вид программирования назван потому, что в нем эффективно используется геометрическое среднее и ряд таких геометрических понятий, как векторные пространства , векторы , ортогональность и др.

НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ - раздел математического программирования , изучающий методы решения экстремальных задач с нелинейной целевой функцией и (или) областью допустимых решений , определенной нелинейными ограничениями .

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ - 1. Основное понятие математической теории оптимальных процессов (принадлежащей разделу математики под тем же названием - О. у.); означает выбор таких управляющих параметров , которые обеспечивали бы наилучшее с точки зрения заданного критерия протекание процесса или, иначе, наилучшее поведение системы , ее развитие к цели по оптимальной траектории . Эти управляющие параметры обычно рассматриваются как функции времени , что означает возможность их изменения по ходу процесса для выбора на каждом этапе их наилучших (оптимальных) значений.

ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ - раздел исследования операций , который рассматривает разнообразные процессы в экономике, а также в телефонной связи, здравоохранении и других областях, как процессы обслуживания, т. е. удовлетворения каких-то запросов, заказов (напр., обслуживание кораблей в порту - их разгрузка и погрузка, обслуживание токарей в инструментальной кладовой цеха - выдача им резцов, обслуживание клиентов в прачечной - стирка белья и т. д.).

ТЕОРИЯ ПОЛЕЗНОСТИ - теоретическое направление в экономической науке, развитое представителями австрийской школы в XIX-XX вв., основанное на базисном объективном понятии "полезность", воспринимаемом как удовольствие, удовлетворение, получаемое человеком в результате потребления благ. Основной принцип теории полезности - закон убывающей предельной полезности , согласно которому приращение полезности, получаемое от одной добавленной единицы блага, непрерывно убывает.

Теория принятия решений - междисциплинарная область исследования, представляющая интерес для практиков и связанная с математикой, статистикой, экономикой, философией, менеджментом и психологией; изучает, как реальные лица, принимающие решение, выбирают решения и насколько оптимальные решения могут быть приняты.

Теория игр - математический метод изучения оптимальных стратегий в играх. Под игрой понимается процесс, в котором участвуют две и более сторон, ведущих борьбу за реализацию своих интересов. Каждая из сторон имеет свою цель и использует некоторую стратегию, которая может вести к выигрышу или проигрышу - в зависимости от поведения других игроков. Теория игр помогает выбрать лучшие стратегии с учётом представлений о других участниках, их ресурсах и их возможных поступках.

Имитационное моделирование - метод, позволяющий строить модели, описывающие процессы так, как они проходили бы в действительности. Такую модель можно «проиграть» во времени как для одного испытания, так и заданного их множества. При этом результаты будут определяться случайным характером процессов. По этим данным можно получить достаточно устойчивую статистику.

Динамическое программирование – это раздел математики, посвящённый теории и методам решения многошаговых задач оптимального управления.

Как мы и сказали в заключение прошлого урока, принять решение - это лишь половина дела. Вторая половина - оценить, насколько оно было правильным, верным и эффективным. Важно это по той причине, что оценка позволяет понять, насколько грамотными были предпринятые действия, приведут ли они к успеху в будущем, и вообще, стоит ли на них рассчитывать. Оценка принятых решений - это своеобразная лакмусовая бумажка, проверяющая их на результативность. Однако очень важно понимать, что обычные решения в жизни и управленческие решения оцениваются по разным алгоритмам.

Оценка повседневных решений

Для начала немного повторимся: если перед вами встала необходимость принять какое-то сложное решение, последствия которого вас беспокоят, в первую очередь стоит несколько раз обдумать все ЗА и ПРОТИВ, оценить ситуацию и возможные варианты ее разрешения. принятия решения - это первый шаг на пути к его эффективности.

Конечным продуктом анализа принятого решения всегда будет выступать результат. На основе его можно будет судить, достигнута ли цель, какие были задействованы для ее достижения ресурсы, сколько было потрачено сил и времени, что получилось в итоге, и стоила ли игра свеч.

Итак, если принятое решение связано с какими-либо исчисляемыми величинами, его эффективность вполне поддается вычислению в относительных или абсолютных единицах. Например, если вы решили , рассчитывая выйти на новый уровень дохода, оценить эффективность своего решения вы можете уже по истечении месяца или полугодия. Если вы решили запустить новую рекламу своего продукта, понять, насколько было эффективно это решение, вы сможете, установив прирост клиентов, увеличение процента продаж и чистую прибыль.

В случае, когда решение связано с величинами неисчисляемыми, его оценка происходит иначе. Нужно понять, достигли ли вы поставленного изначально результата. К примеру, поставив перед собой задачу повысить свою личную продуктивность и начать больше успевать, вы решили . Подвести итоги можно будет уже через неделю, проставив галочки рядом с выполненными делами в своем списке.

Аналогичным образом производится оценка принятых решений и в любой другой сфере жизни. Схема предельно проста: цель либо достигается, либо нет. Если она достигнута, вы все сделали правильно, если же нет - нужно что-то менять. Кроме того, оценка эффективности может осуществляться и с оглядкой на затраченные ресурсы: чем меньше сил, времени, денег и других средств вы израсходовали на реализацию своего решения, тем оно эффективнее. Все просто.

Как мы видим, в обычной каждодневной жизни делать анализ принятых решений достаточно легко. Но есть другая категория решений - управленческие, и их анализировать намного сложнее. На эту тему пишутся целые книги и пособия, и рассмотреть все детали в одном уроке, к сожалению, не получится. Однако указать на основы этого процесса вполне реально. Этим мы и займемся.

Основы оценки управленческих решений

Принятие любого управленческого решения можно назвать промежуточным этапом между управленческим решением и управленческим воздействием. Это в свою очередь говорит о том, что эффективность такого решения проявляется в совокупности эффективности его разработки и реализации.

Всего существует более шести десятков всевозможных частных показателей эффективности деятельности организации. К ним относятся оборачиваемость оборотных средств, рентабельность, окупаемость вложений, соотношение темпов роста производительности труда и средней заработной платы и т.д.

Оценка эффективности управленческих решений предполагает использование понятия совокупного экономического эффекта, т.к. в полученные результаты в обязательном порядке включается трудовой вклад людей.

Следует сказать также, что для организаций очень важно удовлетворять требования потребителей и в то же время улучшать эконмические показатели своей деятельности. Исходя из этого, при оценке эффективности решений появляется необходимость брать в расчет два аспекта результативности - социальный и экономический.

Проиллюстрировать алгоритм оценки эффективности управленческих решений можно, взяв для примера торговую организацию. Так, чтобы понять, результативным было решение или нет, необходимо вести раздельный учет доходов и расходов касаемо разных товарных групп. Учитывая, что на практике делать это весьма сложно, в процессе анализа распространено использование так называемых удельных качественных показателей. Здесь таковыми являются прибыль из расчета на 1 млн. рублей товарооборота и издержки обращения из расчета на 1 млн. товарных запасов.

Эффективность управленческих решений в торговых организациях выражается совокупно в количественной форме - это прирост объемов товарооборота, повышение скорости оборачиваемости продукта и снижение суммы товарных резервов.

Если же нужно понять итоговый финансово-экономический результат реализации управленческих решений, следует установить, насколько увеличиваются доходы конкретной организации и насколько сокращаются ее расходы.

Определить экономическую эффективность решения, повлиявшего на рост товарооборота и увеличение прибыли, можно при помощи формулы:

Эф П*Т П * (Тф — Тпл), где:

• Эф - показатель экономической эффективности
• П - показатель прибыли из расчета на 1 млн. рублей товарооборота
• Т - показатель прироста объема товарооборота
• Тф - показатель фактического товарооборота, наблюдающийся после реализации управленческого решения
• Тпл - показатель планового товарооборота (либо товарооборота за сопоставимый отрезок до реализации управленческого решения)

В данном примере экономическую эффективность отражает снижение показателей издержек обращения (коммерческих затрат, затрат на продажу), которые приходятся на остаток товаров. Отсюда и повышение показателей прибыли. Эффективность здесь определяется по формуле:

Эф =ИО*З ИО*(З2 — З1), где:

• Эф - показатель экономической эффективности конкретного управленческого решения
• ИО - показатель объемов издержек обращения из расчета на 1 млн. рублей товарных запасов
• З - показатель величины изменений (уменьшений) товарных запасов
• 31 - показатель объемов товарных запасов до реализации управленческого решения
• 32 - показатель объемов товарных запасов после реализации управленческого решения

В нашем случае экономическая эффективность управленческого решения отразилась и на увеличении темпов оборачиваемости товаров. Ее показатель можно рассчитать по формуле:

Эф Ио*Об Ио (Об ф — Об пл), где:

• Эф - показатель экономической эффективности управленческого решения
• Ио - показатель одновременного объема издержек обращения
• Об - показатель повышения темпов оборачиваемости товаров
• Об пл - показатель оборачиваемости товаров до принятия управленческого решения
• Об ф - показатель оборачиваемости товаров после принятия управленческого решения

В дополнение ко всему для анализа эффективности управленческих решений принято использовать несколько специализированных методов, упрощающих процедуру и приводящих к более точным результатам.

Методы оценки управленческих решений

В процессе оценки эффективности управленческих решений применяется семь основных методов:

• Индексный метод. Его применяют для анализа наиболее сложных явлений с элементами, не поддающимися измерениям. Индексы здесь играют роль относительных показателей. Они помогают оценить, как выполняются плановые задания, и определить динамику разных процессов и явлений. Индексный метод призван помочь разложить обобщающий показатель на факторы относительных и абсолютных отклонений.
• Балансовый метод. Его суть состоит в том, что сопоставляются взаимосвязанные показатели работы организации. Цель - определить влияние отдельных факторов и найти резервы для повышения эффективности компании. Взаимосвязь отдельных показателей представляется равенством итогов, которые получены после определенных сопоставлений.
• Метод элиминирования. Он обобщает два первых метода и предлагает возможность для определения воздействия какого-то одного фактора на общий показатель деятельности компании. При этом предполагается, что все другие факторы функционировали в одной среде - согласно плану.
• Графический метод. Является способом наглядного представления работы организации, определения комплекса показателей и оформления результатов произведенных аналитических мероприятий.
• Метод сравнения. Предлагает возможность оценки работы компании, выявления отклонений фактических показателей от базисных величин, установления их причин и поиска резервов последующего улучшения деятельности.
• Функционально-стоимостный анализ. Его можно назвать методом системного исследования, применяющегося, исходя из назначения объекта изучения. Его задача - повысить полезный эффект (отдачу) совокупных затрат за жизненный цикл объекта. Отличительной особенностью является то, что метод позволяет установить целесообразность ряда функций, которые будут выполняться проектируемым объектом в конкретной среде, а также проверить необходимость каких-то функций объекта, который уже существует.
• Экономико-математические методы. Применяются, когда требуется выбрать оптимальные варианты, определяющие специфику управленческих решений в текущих или предполагаемых экономических условиях. Задач, которые решают экономико-математические методы, множество. Среди них установление наилучшего ассортимента производимого продукта, оценка плана производства, сравнительный анализ экономической эффективности применения ресурсов, оптимизация производственной программы и другие.

На то, насколько будет эффективна работа организации, самым серьезным образом влияют управленческие решения. Это причина, по которой важно максимально овладеть управленческим аппаратом, теорией и практикой разработки и реализации решений. Это значит, что нужно обладать навыком выбора лучшей альтернативы среди нескольких вариантов.

Любые управленческие решения обусловлены достоверностью и полнотой имеющихся данных. Поэтому они могут приниматься как в условиях определенности, так и в условиях неопределенности.

Принятие управленческих решений как процесс представляет собой циклическую последовательность действий ответственного лица по разрешению актуальных проблем. Эти действия заключаются в анализе ситуации, разработке возможных путей решения, выборе и осуществлении лучшего из них.

Практика показывает, что на принятие решений на любом уровне подвержено погрешностям. На это влияют многие причины, т.к. экономическое развитие включает в себя большое количество самых разных ситуаций, которые нужно разрешать.

Особое место среди причин того, почему управленческие решения оказываются малоэффективными, занимает несоблюдение или банальное незнание технологии их генерации и последующего выполнения. А для этого принято использовать теоретическую информацию, методы и техники, о которых мы говорили в предыдущих уроках.

Все, сказанное выше, безусловно, описывает лишь базовые предпосылки оценки эффективности управленческих решений. Чтобы правильно применять их на практике, необходимо либо иметь соответствующее образование, либо погрузиться в изучение специализированной литературы, т.к. есть огромное количество тонкостей, нюансов, методик и чисто технических данных, которые нужно изучить, усвоить и освоить. Этот урок может служить отправной точкой для последующего углубления в специфику оценки эффективности управленческих решений.

В заключение же нашего курса хотелось бы осветить еще одну тему, знания в которой просто необходимы для принятия правильных решений в жизни, обучении и на работе. Это тема психологии принятия решений. И рассмотрим мы ее с позиции Даниэля Канемана - психолога и одного из основоположников поведенческих финансов и психологической экономической теории. В своих объяснениях иррационального отношения людей к риску в управлении своим поведениям и принятии решений он объединяет когнитивистику и экономику. Идеи Канемана окажут вам существенную поддержку в повышении своей эффективности.

Хотите проверить свои знания?

Если вы хотите проверить свои теоретические знания по теме курса и понять, насколько он вам подходит, можете пройти наш тест. В каждом вопросе правильным может быть только 1 вариант. После выбора вами одного из вариантов, система автоматически переходит к следующему вопросу.

В практической деятельности специалистов по БИ важную роль играет имеющаяся математическая база. Именно благодаря различным методам количественного анализа, построения экономико-математических моделей, анализа и синтеза на основе системного подхода возможно грамотное управление как отдельными сферами профессиональной деятельности, так и целыми предприятиями, отраслями и даже странами. Особое значение при этом имеют оптимизация и принятие решений, на что и направлены многие существующие методы и инструменты.

Математические методы всегда играли ведущую роль в решении различных прикладных задач бизнеса. Именно благодаря им изучались общие закономерности процессов управления и передачи информации. Это осуществлялось на основе изучения множества теорий, принципов и концепций: теории автоматов, теорий принятия решений и оптимального управления, теории алгоритмов, теории обучающихся систем и многих других. С развитием ИТ математическая база не только стала использоваться для дальнейшей автоматизации моделей и организации вычислений, но и обеспечила возможности для развития технологий в новом направлении.

Например, теория автоматов позволяет представлять вычислительные машины в виде математических моделей и, таким образом, лежит в основе различных цифровых технологий и ПО, применяясь при разработке языков программирования, компиляторов и пр.

В тесной взаимосвязи с теорией автоматов находится теория алгоритмов, так как преобразуемая автоматами информация для каждого момента времени позволяет задавать шаги алгоритма. Современная теория алгоритмов также занимается проблемами формулировки различных задач в терминах формальных языков, вычисляет трудоемкость задач и потребность алгоритма в ресурсах, осуществляет поиск критериев качества алгоритмов.

Среди теорий математики и кибернетики крайне важной является теория принятия решений. Данная область исследований изучает закономерности выбора того или иного альтернативного варианта решения, а также занимается поиском наиболее выгодного из них. В числе некоторых из актуальных вопросов в современной теории принятия решений - теория коллективного выбора, например, в части анализа поведения банков или анализа распределения влияния участников какой-либо организации.

Наиболее близкой к теории принятия решений является теория оптимального управления. Ее отличает работа с иерархическими многоуровневыми системами (например, различного масштаба компаниями), для управления которыми требуются специальные методы анализа, позволяющие сформировать многоцелевые и многофакторные системы управления. Системы переводятся в новое состояние по конкретному критерию оптимальности (отсюда название теории), которым может быть минимизация трудозатрат, денежных и прочих ресурсов и пр. В случае если исходных данных для решения задачи недостаточно, а традиционные количественные методы неприменимы, используются также различные алгоритмы на основе теории нечетких множеств и теории принятия решений в условиях неопределенности. Их крайняя реализация - класс эвристических методов, представляющих собой неформализованные методы, основанные на аналогиях, прошлом опыте, экспертных оценках и прочей информации.

Соответственно для понимания и применения всех этих теорий необходим аппарат математического анализа, линейной алгебры, нелинейного программирования, теории вероятностей, комбинаторики, математической статистики, эконометрики и многие другие теоретико-прикладные дисциплины.

Существует множество областей деятельности, в которых широко используются комбинации вышеописанных дисциплин. Одной из наиболее масштабных областей является исследование операций, к которому относятся теория игр и сетевые методы планирования, теория массового обслуживания, теория расписаний, методы искусственного интеллекта и др. Системный подход в данном случае является основополагающим методологическим принципом в исследовании операций. Благодаря ему формируется единое целостное видение проблемы, для которой составляется определенная математическая модель, описывающая в математических терминах поведение системы/процесса/операции/объекта и исследуемая в дальнейшем. Возможностей построения моделей при этом существует огромное множество: линейные и нелинейные, детерминированные или стохастические, статические или динамические, дискретные или непрерывные, структурные или функциональные (так называемые модели черного ящика). Так, совместное использование теории систем массового обслуживания и математической теории расписаний представляет собой эффективный математический аппарат моделирования организации обслуживания и планирования обработки вычислительных задач в многомашинных и мультипроцессорных вычислительных системах.

Для поддержки математического моделирования с помощью компьютерных систем созданы такие известные программные решения, как Mathematica, Mathcad, MATLAB, AnyLogic.

Как уже было сказано, во многих отраслях деятельности - от биологии до строительства или экономики - важен поиск наиболее эффективных и оптимальных решений. Ярким примером являются геоинформациопные системы, которые благодаря заложенным в них моделям способны вычислить кратчайший маршрут для объезда пробок или найти ближайший кинотеатр. Среди теорий и методов, благодаря которым создание таких моделей стало возможным, - теория графов. В ее основе - представление различных объектов, событий и явлений в виде множества вершин (узлов) и ребер, соединяющих их. В случае геоинформационной системы различные дома и учреждения могут рассматриваться как вершины графов, а дороги, линии электропередач и прочие сети - как ребра графов.

Теория графов, применяемая в химии, позволяет вычислить число возможных изомеров различных органических соединений, а в коммуникационных системах - осуществлять маршрутизацию данных. Подобная же логика может быть применена и в других областях - при календарном планировании производственных процессов, расчете сетей массового обслуживания, анализе продуктовых потоков и в других целях.

Для более наглядного представления о самих методах, применяющихся для решения подобных задач, рассмотрим известную задачу коммивояжера. Ее суть - в поиске оптимального пути (которым может быть самый быстрый, самый короткий, самый дешевый маршрут) через несколько городов с заходом в них минимум один раз и конечным возвратом в исходный город. Разумеется, первым вариантом решения задачи будет ручной перебор всех возможных маршрутов. Однако в случае, когда количество вершин графа (= городов в маршруте) будет исчисляться десятками и сотнями, эффективность подобных вычислений крайне сомнительна. Поэтому оптимальная вариация данного метода - неявный перебор, или метод ветвей и границ. Он основан на идее последовательного разбиения множества допустимых решений, элементы которого на каждом шаге анализируются на предмет содержания в них оптимального решения. В случае поиска минимума (минимальное время, минимальное расстояние и т.д.) для подмножества нижняя оценка целевой функции сравнивается с верхней оценкой функционала. Алгоритм завершает работу, когда просмотрены все элементы разбиения и найдено решение с самой минимальной верхней оценкой.

Существуют также многие другие методы поиска решения: различные виды переборов, «метод ближайшего соседа», «метод имитации отжига», «алгоритм муравьиной колонии», «метод эластичной сети», которые различаюгся степенью точности, трудоемкостью и, конечно, применяемым математическим аппаратом.

Например, известный алгоритм Дейкстры, определяющий кратчайшее расстояние от одной выделенной вершины до всех остальных вершин, использует протоколы маршрутизации SSPF и IS-IS.

Существует также другой класс задач, относящихся к функциям нескольких переменных, для которых имеются различные связи и ограничения. Их рассмотрение проводится численными методами в рамках раздела нелинейного программирования. Например, если для промышленного предприятия целевой функцией будет являться функция прибыли, то ограничениями в таком случае станут изменяющиеся по определенным принципам ресурсы, рабочая сила, постепенно снижающаяся производительность оборудования и пр. Однако данная задача актуальна и для естественных наук, бизнеса, экономики, вычислительной техники и других сфер.

Большинство из вышеупомянутых задач невозможно рассматривать вне привязки еще к одному важнейшему разделу математики и статистики - теории вероятностей. Она изучает случайные явления, события и величины, их свойства и закономерности и строит функции распределения возможных значений величин. Примером использования теории может быть простейший расчет планового числа бракованных изделий на производстве исходя из вероятности их появления при различных условиях и размеров партии изделий.

Теория случайных процессов (броуновское движение, случайные блуждания, полеты Леви) эффективно используется для моделирования колебаний на фондовых рынках.

Такие сферы, как создание биржевых торговых роботов или оценка кредитных рисков, моделирование химических процессов, разработка систем компьютерного зрения или даже таргетинг рекламы, используют именно методы теории вероятностей. Разумеется, в зависимости от имеющихся данных и применяемых инструментов для каждой задачи будут также меняться трудоемкость решения и степень погрешности результата.

Другим примером для теории вероятностей, уже напрямую связанным с областью комбинаторики, являются криптоанализ и шифрование данных, например, взлом паролей через сравнение с наиболее стандартным списком кодов и затем определение вероятности размещения определенных элементов кода в конкретной последовательности через семантический анализ или анализ расположения различных клавиш на устройстве ввода. Комбинаторика является важной составляющей математического аппарата БИ. Она изучает различные дискретные объекты и их множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисления) и тесно связана с теорией графов, которую некоторые исследователи даже причисляют к одной из областей комбинаторики. Очень многие сферы деятельности покрываются комбинаторными методами - от образования (составление расписания занятий) до военного дела (расположение подразделений), от экономики (анализ вариантов операций с акциями) до азартных игр (и расчета частоты выигрышей).

Наконец, следует сказать еще о такой науке, как математическая статистика, которая в значительной степени опирается на теорию вероятностей. Именно статистика предоставляет методы регистрации, описания и анализа различных экспериментов и наблюдений для дальнейшего построения моделей процессов и явлений. При этом некоторые методы математической статистики направлены исключительно на описание данных, их визуализацию и интерпретацию, другие - на оценку и проверку гипотез. Например, на это направлен факторный анализ, который позволяет изучать взаимосвязи между значениями переменных и выявлять скрытые переменные факторы, создающие корреляции между переменными.

Благодаря кластерному, дискриминантному, корреляционному анализу и другим методам, пришедшим из математической статистики, возможности современных ИС (от пакетов SAS, SPSS, Statistica до модулей ERP/BI и других систем) позволяют осуществлять имитационное моделирование, проводить распознавание образов, аналитическую обработку данных и решать многие другие комплексные задачи работы со сложными системами.

Одним из последних направлений в исследовании сложных динамических систем является синергетика, включающая теорию динамического хаоса, катастроф и бифуркаций, изучающая закономерности сложных неравновесных процессов на основе присущих им принципов самоорганизации. Здесь, прежде всего, следует отметить успехи синергетического подхода в моделировании нелинейной динамики агрегированных рыночных цен и финансовых странных аттракторов, взаимодействий в системе «вирус - антивирус» вычислительных комплексов.

В данном обзоре приведены не все математические методы, которые могут использоваться специалистами БИ. Автор надеется, что коллеги по БИ сделают полный обзор математических методов системного анализа в своих будущих работах.

Таким образом, среди сфер применения системного подхода :

• совершенствование бизнес-процессов через измерение и оценку (внедрение систем менеджмента качества);
• совершенствование системы управления организации;
• оптимизация различных процессов через разработку математических моделей, алгоритмических и программных решений;
• исследование операций при работе в области информационной бизнес-аналитики;
• сценарная оптимизация динамических процессов;
• проектирование и расчет сложных систем.

• По материалам учебника по дисциплине «Моделирование и анализ бизнес-процессов»коллектива авторов (А. И. Громов, В. Г. Чеботарев, Я. В. Горчаков, О. И. Бойко). М.: Изд-воГУ ВШЭ, 2008).