Статистические модели относятся к моделям. Статистическая модель и задачи математической статистики
Приложение 1. МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА И ПРОГНОЗИРОВАНИЯ В БИЗНЕСЕ
2. Математические модели как необходимый инструмент статистического анализа и прогнозирования в бизнесе
Начнем с простого примера демонстрирующего различия чисто статистического, чисто вероятностного и вероятностно-статистического подходов к выработке прогнозного решения. Одновременно на этом примере достаточно прозрачно видна роль математических моделей в технологии формирования прогнозного решения.
Статистический способ принятия решения. Пусть читатель представит себя бизнесменом, наблюдающим за игрой двух его приятелей-бизнесменов (А и В ) в кости. Игра идет по следующим правилам. Производится четыре последовательных бросания игральной кости. Игрок А получает одну денежную единицу от игрока В , если в результате этих четырех бросаний хотя бы один раз выпало шесть очков (назовем этот исход «шесть»), и платит одну денежную единицу игроку В в противном случае (назовем этот исход «не шесть»). После ста туров читатель должен сменить одного из игроков, причем он имеет право выбрать ситуацию, на которую он будет ставить свою денежную единицу в следующей серии туров: за появление хотя бы одной «шестерки» или против. Правильное осуществление этого выбора определяется, естественно, качеством его прогноза по поводу результата игры при ставке на исход «шесть»: если вероятность этого исхода правильно оценивается величиной, превосходящей половину, то игрок должен поставить именно на этот исход. Итак, задача наблюдателя – сделать достоверный прогноз.
Статистический способ решения этой задачи диктуется обычным здравым смыслом и заключается в следующем. Пронаблюдав сто туров игры предыдущих партнеров и подсчитав относительные частоты их выигрыша, казалось бы, естественно поставить на ту ситуацию, которая чаще возникала в процессе игры. Например, было зафиксировано, что в 52 партиях из 100 выиграл игрок В , т.е. в 52 турах из 100 «шестерка» не выпадала ни разу при четырехкратном выбрасывании кости (соответственно в остальных 48 партиях из ста осуществлялся исход «шесть»). Следовательно, делает вывод читатель, применивший статистический способ рассуждения, выгоднее ставить на исход «не шесть», т.е. на тот исход, относительная частота появления которого равна 0,52 (больше половины).
Теоретико-вероятностный способ решения . Этот способ основан на определенной математической модели изучаемого явления: полагая кость правильной (т. е. симметричной), а следовательно, принимая шансы выпадения любой грани кости при одном бросании равными между собой (другими словами, относительная частота, или вероятность, выпадения «единицы» равна относительной частоте выпадения «двойки», «тройки» и т. д. и равна 1/6), можно подсчитать вероятность P {«не шесть»} осуществления ситуации «не шесть», т. е. вероятность события, заключающегося в том, что при четырех последовательных бросаниях игральной кости ни разу не появится «шестерка». Этот расчет основан на следующих фактах, вытекающих из принятых нами предпосылок модели. Вероятность не выбросить шестерку при одном бросании кости складывается из шансов появиться в результате одного бросания «единице», «двойке», «тройке», «четверке»и «пятерке» и, следовательно, составляет (в соответствии с определением вероятности любого события) величину 5/6. Затем используем правило умножения вероятностей, в соответствии с которым вероятность наступления нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. В нашем случае мы рассматриваем факт наступления четырех независимых событий, каждое из которых заключается в невыпадении «шестерки» при одном бросании и имеет вероятность осуществления, равную 5/6. Поэтому
Как видно, вероятность ситуации «не шесть» оказалась меньше половины, следовательно, шансы ситуации «шесть» предпочтительнее (соответствующая вероятность равна: 1-0,482 = 0,518). А значит, читатель, использовавший теоретико-вероятностный способ рассуждения, придет к диаметрально противоположному по сравнению с читателем со статистическим образом мышления решению и будет ставить в игре на ситуацию «шесть».
Вероятностно-статистический (или математико-статистический) способ принятия решения. Этот способ как бы синтезирует инструментарий двух предыдущих, так как при выработке с его помощью окончательного вывода используются и накопленные в результате наблюдения за игрой исходные статистические данные (в виде относительных частот появления ситуаций «шесть» и «не шесть», которые, как мы помним, были равны соответственно 0,48 и 0,52), и теоретико-вероятностные модельные соображения . Однако модель, принимаемая в данном случае, менее жестка, менее ограничена, она как бы настраивается на реальную действительность, используя для этого накопленную статистическую информацию . В частности, эта модель уже не постулирует правильность используемых костей, допуская, что центр тяжести игральной кости может быть и смещен некоторым особым образом. Характер этого смещения (если оно есть) должен как-то проявиться в тех исходных статистических данных, которыми мы располагаем. Однако читатель, владеющий вероятностно-статистическим образом мышления, должен отдавать себе отчет в том, что полученные из этих данных величины относительных частот исходов «шесть» и «не шесть» дают лишь некоторые приближенные оценки истинных (теоретических) шансов той и другой ситуации: ведь подбрасывая, скажем, 10 раз даже идеально симметричную монету, мы можем случайно получить семь выпадений «гербов»; соответственно относительная частота выпадения «герба», подсчитанная по этим результатам испытаний, будет равна 0,7; но это еще не значит, что истинные (теоретические) шансы (вероятности) появления «герба» и другой стороны монеты оцениваются величинами соответственно 0,7 и 0,3, – эти вероятности, как мы знаем, равны 0,5. Точно так же установленная нами в серии из ста игровых туров относительная частота исхода «не шесть» (равная 0,52) может отличаться от истинной (теоретической) вероятности того же события и, значит, может не быть достаточным основанием для выбора этой ситуации в игре!
Получается, что весь вопрос заключается в том, насколько сильно может отличаться наблюденная (в результате осуществления n испытаний) относительная частота интересующего нас события от истинной вероятности появления этого события, и как это отличие, т. е. погрешность , зависит от числа имеющихся в нашем распоряжении наблюдений (интуитивно ясно, что чем дольше мы наблюдали за игрой, т. е. чем больше общее число использованных нами наблюдений, тем больше доверия заслуживают вычисленные нами эмпирические относительные частоты , т. е. тем меньше их отличие от неизвестных нам истинных значений вероятностей ). Ответ на этот вопрос можно получить в нашем случае, если воспользоваться рядом дополнительных модельных соображений : а) предположить, что результат каждого тура никак не зависит от результатов предыдущих туров, а неизвестная нам вероятность осуществления ситуации «не шесть» остается одной и той же на протяжении всех туров игры; б) использовать тот факт, что поведение случайно меняющейся (при повторениях эксперимента) погрешности приближенно описывается законом нормального распределения вероятностей со средним значением, равным нулю, и дисперсией, равной (см. , п. 3.1.5).
Эти соображения, в частности, позволяют оценить абсолютную величину погрешности , заменяя неизвестную величину вероятности интересующего нас события (в нашем случае – исход «не шесть») относительной частотой этого события, зафиксированной в серии из испытаний (в нашем случае , а ). Если же мы смогли численно оценить абсолютную величину возможной погрешности , то естественно применить следующее правило принятия решения: если относительная частота появления исхода «не шесть» больше половины и продолжает превышать 0,5 после вычитания из нее возможной погрешности , то выгоднее ставить на «не шесть»; если относительная частота меньше половины и продолжает быть меньше 0,5 после прибавления к ней возможной погрешности , то выгоднее ставить на «шесть»; в других случаях у наблюдателя нет оснований для статистического вывода о преимуществах того или иного выбора ставки в игре (т. е. надо либо продолжить наблюдения, либо участвовать в игре с произвольным выбором ставки, ожидая, что это не может привести к сколько-нибудь ощутимому выигрышу или проигрышу).
Приближенный подсчет максимально возможной величины этой погрешности, опирающийся на модельное соображение б) (т. е. теорему Муавра-Лапласа, см. и п. 4.3), дает в рассматриваемом примере, что с практической достоверностью, а именно с вероятностью 0,95, справедливо неравенство
Возведение этого неравенства в квадрат и решение получившегося квадратного неравенства относительно неизвестного параметра дает
или, с точностью до величин порядка малости выше, чем ,
В данном случае (при и ) получаем:
Следовательно,
Таким образом, наблюдения за исходами ста партий дают нам основания лишь заключить, что интересующая нас неизвестная величина вероятности исхода «не шесть» на самом деле может быть любым числом из отрезка , т. е. может быть как величиной, меньшей 0,5 (и тогда надо ставить в игре на ситуацию «шесть»), так и величиной, большей 0,5 (и тогда надо ставить в игре на ситуацию «не шесть»).
Иначе говоря, читатель, воспользовавшийся вероятностно-статистическим способом решения задачи и указанными выше модельными предпосылками, должен прийти к следующему «осторожному» выводу: ста партий в качестве исходного статистического материала оказалось недостаточно для вынесения надежного заключения о том, какой из исходов игры является более вероятным . Отсюда решение: либо продолжить роль «зрителя» до тех пор, пока область возможных значений для вероятности , полученная из оценок вида (4), не окажется целиком лежащей левее или правее 0,5, либо вступить в игру, оценивая ее как близкую к «безобидной», т. е. к такой, в которой в длинной серии туров практически останешься «при своих».
Приведенный пример иллюстрирует роль и назначение теоретико-вероятностных и математико-статистических методов, их взаимоотношения. Если теория вероятностей предоставляет исследователю набор математических моделей , предназначенных для описания закономерностей в поведении реальных явлений или систем, функционирование которых происходит под влиянием большого числа взаимодействующих случайных факторов, то средства математической статистики позволяют подбирать среди множества возможных теоретико-вероятностных моделей ту, которая в определенном смысле наилучшим образом соответствует имеющимся в распоряжении исследователя статистическим данным , характеризующим реальное поведение конкретной исследуемой системы.
Математическая модель . Математическая модель – это некоторая математическая конструкция, представляющая собой абстракцию реального мира: в модели интересующие исследователя отношения между реальными элементами заменены подходящими отношениями между элементами математической конструкции (математическими категориями). Эти отношения, как правило, представлены в форме уравнений и (или) неравенств между показателями (переменными), характеризующими функционирование моделируемой реальной системы. Искусство построения математической модели состоит в том, чтобы совместить как можно большую лаконичность в ее математическом описании с достаточной точностью модельного воспроизводства именно тех сторон анализируемой реальности, которые интересуют исследователя.
Выше, анализируя взаимоотношения чисто статистического, чисто теоретико-вероятностного и смешанного – вероятностно-статистического способа рассуждения, мы, в действительности, пользовались простейшими моделями, а именно:
статистической частотной моделью интересующего нас случайного события, заключающегося в том, что в результате четырех последовательных бросаний игральной кости ни разу не выпадет «шестерка»; оценив по предыстории относительную частоту этого события и приняв ее за вероятность появления этого события в будущем ряду испытаний , мы, тем самым, используем модель случайного эксперимента с известной вероятностью его исхода (см. и п. 1.1.3);
теоретико-вероятностной моделью последовательности испытаний Бернулли (см. и п. 3.1.1), которая никак не связана с использованием результатов наблюдений (т. е. со статистикой); для подсчета вероятности интересующего нас события достаточно принятия гипотетического допущения о том, что используемая игральная кость идеально симметрична. Тогда в соответствии с моделью серии независимых испытаний и справедливой, в рамках этой модели, теоремой умножения вероятностей подсчитывается интересующая нас вероятность по формуле ;
вероятностно-статистической моделью , интерпретирующей оцененную в чисто статистическом подходе относительную частоту как некую случайную величину (см. и п. 2.1), поведение которой подчиняется правилам, определяемым так называемой теоремой Муавра–Лапласа; при построении этой модели были использованы как теоретико-вероятностные понятия и правила, так и статистические приемы, основанные на результатах наблюдений.
Обобщая этот пример, можно сказать, что:
вероятностная модель – это математическая модель, имитирующая механизм функционирования гипотетического (не конкретного) реального явления (или системы) стохастической природы; в нашем примере гипотетичность относилась к свойствам игральной кости: она должна была быть идеально симметричной;
вероятностно-статистическая модель – э то вероятностная модель, значения отдельных характеристик (параметров) которой оцениваются по результатам наблюдений (исходным статистическим данным), характеризующим функционирование моделируемого конкретного (а не гипотетического) явления (или системы).
Вероятностно-статистическая модель, описывающая механизм функционирования экономической или социально-экономической системы, называется эконометрической .
Прогностические и управленческие модели в бизнесе . Вернемся к задачам статистического анализа механизма функционирования предприятия (фирмы) и связанным с ними прогнозами. Вновь рассматривая «фазовое пространство » этих задач, нетрудно описать общую логическую структуру необходимых для их решения моделей. Эта структура прямо следует из сформулированного выше определения стратегии бизнеса .
Для того чтобы формализовать (т. е. записать в терминах математической модели) задачи оптимального управления и построения прогноза в бизнесе, введем следующие обозначения:
– вектор-столбец
результирующих показателей (объем продаж и т. п.);
– вектор-столбец
«поведенческих» (управляемых) переменных (вложения в развитие основных фондов,
в службы маркетинга и т. п.);
– вектор-столбец
так называемых «статусных» переменных, т. е. показателей, характеризующих
состояние фирмы (число работников, основные фонды, возраст фирмы и т. п.);
– вектор-столбец
гео-социо-экономико-демографичес-ких характеристик внешней среды (показатели
общей экономической ситуации, характеристики клиентов и поставщиков и т. п.);
– вектор-столбец
случайных регрессионных остатков (подробнее о них ниже).
Тогда система уравнений, на базе которых может осуществляться оптимальное управление предприятием и выполнение необходимых прогнозных расчетов , в самом общем виде может быть представлена в форме:
, (5)
где – некоторая
векторнозначная ( -мерная) функция
от 
, структура
(значения параметров) которой, вообще говоря, зависит от того, на каких уровнях
зафиксированы величины переменных «состояния» фирмы и «внешней
среды» .
Тогда базовая проблема статистического анализа и прогнозирования в бизнесе состоит в построении наилучшей (в определенном смысле) оценки для неизвестной функции по имеющейся в распоряжении исследователя исходной статистической информации вида
где – значения соответственно поведенческих, «статусных», внешних и результирующих переменных, характеризующие -й такт времени (или измеренных на -м статистически обследованном предприятии), . Соответственно параметр (объем выборки ) интерпретируется как общая длительность наблюдений за значениями анализируемых переменных на исследуемом предприятии, если наблюдения регистрировались во времени , и как общее число статистически обследованных однотипных предприятий, если наблюдения регистрировались в пространстве (т. е., переходя от одного предприятия к другому). При этом описание функции должно сопровождаться способом расчета гарантированных погрешностей аппроксимации (ошибок прогноза ), т. е. таких векторных ( -мерных) значений и , которые для любых заданных значений и гарантировали бы выполнение неравенств (с вероятностью, не меньшей, чем , где – наперед заданная, достаточно близкая к единице положительная величина) , т.е. соответственно поведенческих (управляемых), «статусных» и переменных внешней среды для момента времени классической модели регрессии, величина тождественно равна нулю (см ).
Некоторые общие сведения о математическом инструментарии решения задач (9) и (10) см. ниже, в п. 4 .
| Предыдущая |
Наиболее широкое распространение при построении прогнозов развития в практике коммерческой деятельности получили экономико-статистические модели , которые описывают зависимость исследуемого экономического показателя от одного или нескольких факторов, оказывающих на него существенное влияние.
Закономерности в экономике могут выражаться в виде математических моделей связей и зависимостей экономических показателей. Такие зависимости и модели получают только путем обработки реальных статистических данных с учетом внутренних механизмов связи и случайных факторов. Наличие и качество информационного обеспечения, реальные возможности сбора и обработки первичной информации во многом определяют как сферу практического применения статистического моделирования в экономике, так и выбор различных видов прикладных моделей.
Строить экономико-статистические модели и оценивать их параметры, проверять гипотезы о свойствах экономических показателей и формах их связей помогает математическая статистика - теория обработки и анализа данных. Ее применение в экономике служит основой для экономического анализа и прогнозирования, что в конечном счете создает возможности для принятия обоснованных экономических решений.
Экономические данные обычно делят на два вида: перекрестные данные и временные ряды. Особенности их формирования впоследствии определяют выбор тех или иных методов обработки и анализа данных, построения моделей, отражающих связи и зависимости показателей.
Перекрестные данные - это данные по какому-либо экономическому показателю, полученные для разных однотипных объектов (фирм, регионов, отдельных видов товаров и др.). При этом либо все данные относятся к одному и тому же моменту времени, либо их временная принадлежность несущественна. Такие данные особенно ценны при изучении конкурентных преимуществ экономического объекта, сравнительной оценке его эффективности с целью определения реального положения на рынке, а также для выявления общей, характерной для всей совокупности отобранных объектов, зависимости какого-либо экономического показателя от действия заданных факторов в конкретный момент времени. Примером перекрестных данных может быть набор сведений (объем реализации, количество работников, уровень доходов и т.д.) о разных торговых предприятиях в один и тот же момент времени.
Временные ряды - это данные, характеризующие один и тот же объект, но в различные моменты времени, т.е. в качестве признака упорядочения данных в таких рядах берется время. Примером временных рядов могут быть ежеквартальные данные об объеме товарооборота, средней заработной плате, данные об инфляции, уровне доходов, затрат за последние несколько лет. Временной ряд, состоящий из n -уровней у 1 , y 2 , …, y n может быть записан в компактной форме: y t , t = 1, 2, ..., n , где t - порядковый номер наблюдения.
Основными требованиями, предъявляемыми к исходным данным, являются требования сопоставимости, достаточной представительности для выявления закономерности, однородности и устойчивости. Невыполнение одного из этих требований делает бессмысленным применение математического аппарата.
Сопоставимость данных достигается в результате одинакового подхода к наблюдениям на разных этапах формирования ряда динамики. Данные каждого ряда должны выражаться в одних и тех же единицах, иметь одинаковый шаг наблюдений, рассчитываться для одного и того же интервала времени, по одной и той же методике, охватывать одни и те же элементы, принадлежащие одной территории, относящейся к неизменной совокупности.
Представительность данных характеризуется их полнотой. Достаточное число наблюдений определяется в зависимости от цели проводимого исследования. Если целью является описательный статистический анализ, то в качестве изучаемого интервала времени можно выбрать любой, по своему усмотрению. Если же цель исследования - построение модели динамики, то число уровней исходного динамического ряда должно не меньше, чем в 3 раза превышать период упреждения прогноза и быть не менее 7. В случае использования квартальных или помесячных данных для исследования сезонности и прогнозирования сезонных процессов исходный временной ряд должен содержать квартальные либо помесячные данные не менее, чем за 4 года, даже если требуется прогноз на 1-2 квартала (месяца).
Однородность данных предполагает отсутствие нетипичных, аномальных наблюдений, а также изломов сложившихся тенденций. Аномальность приводит к смещению оценок и, следовательно, к искажению результатов анализа. Изломы тенденций свидетельствуют об изменении закономерностей протекания процесса.
Устойчивость данных отражает преобладание закономерности над случайностью в изменении уровней ряда. Свойство устойчивости легче всего проследить графически. На графиках устойчивых временных рядов даже визуально прослеживается закономерность, а на графиках неустойчивых рядов изменения последовательных уровней представляются хаотичными, и поэтому поиск закономерностей в формировании значений уровней таких рядов лишен смысла.
2 Основные инструменты анализа экономических данных
MS Excel предлагает широкий диапазон средств для изучения экономической информации. Множество встроенных статистических функций (СРЗНАЧ, МЕДИАНА, МОДА и др.) используют для проведения несложного анализа данных. Если возможностей встроенных функций недостаточно, то обращаются к пакету анализа, который содержит большой набор соответствующих инструментов и значительно расширяет аналитические возможности Excel. Его можно использовать для ранжирования данных, извлечения случайных или периодических выборок из набора данных, проведения корреляционного анализа, получения основных статистических характеристик для выборки и т.п.
В частности, пакет анализа MS Excel позволяет произвести Описательную статистику , содержащую информацию о центральной тенденции и изменчивости входных данных.
Инструмент Описательная статистика , имеющийся в пакете «Анализ данных» MS Excel, предназначен для оценки выборки экономических данных, когда есть необходимость проследить характер распределения и оценить меру разброса фактических величин вокруг среднего значения. Описательная статистика предлагает таблицу основных статистических характеристик для одного или нескольких множеств входных значений. Выходной диапазон этого инструмента содержит следующие статистические характеристики для каждой переменной из входного диапазона: среднее, стандартная ошибка, медиана, мода, стандартное отклонение, дисперсия, коэффициент эксцесса, коэффициент асимметрии, размах (интервал), максимальное значение, минимальное значение, сумма, число значений, k -e наибольшее и наименьшее значения (для любого заданного значения k ) и уровень значимости (надежности) для среднего.
Среднее значение (у ср ) является основной характеристикой центра распределения. Для него характерно то, что все отклонения от него (положительные и отрицательные) в сумме равняются нулю. Excel вычисляет среднее значение по средней арифметической, суммируя ряд данных с последующим делением результата на количество значений ряда.
Стандартная ошибка оценивает меру ошибки рассчитанного на основе сформированной выборки среднего значения и снижается при увеличении массива отобранных данных.
Стандартное отклонение и дисперсия выборки являются статистическими характеристиками изменчивости (разброса) множества измерений. Стандартное отклонение - это квадратный корень из дисперсии. Как правило, приблизительно 68 % значений случайной величины, имеющей нормальное распределение, находятся в пределах одного стандартного отклонения от среднего и около 95 % - в пределах двух. Большое стандартное отклонение указывает на то, что значения сильно разбросаны относительно среднего, а малое - на то, что значения сосредоточены около среднего.
Размах (интервал) есть разность между максимальным и минимальным значениями ряда данных, т.е. длина интервала, которому принадлежат все данные выборки. Чем больше эта длина, тем более рассеяна кривая распределения, тем больше колеблемость изучаемого признака.
Минимум характеризует наименьшее значение во входном диапазоне данных.
Максимум отражает наибольшее значение во входном диапазоне данных.
Мода (Мо ) определяет значение, которое чаще других встречается в массиве данных.
Медиана (Me ) - это значение, разделяющее заданное множество данных (выборку) на две равные части, т.е. половина чисел оказывается больше и половина - меньше медианы. Если количество данных четное, то значение медианы равно среднему из двух чисел, находящихся в середине множества.
Соотношение среднего значения, моды и медианы указывает на характер распределения изучаемого признака в совокупности, позволяет оценить его асимметрию. В симметричных распределениях все три характеристики совпадают. Чем больше расхождение между модой и средним значением, тем более асимметричен ряд.
Оценку отклонения фактического распределения каждого набора входных данных (выборки) от нормального распределения проводят также с помощью коэффициентов асимметрии и эксцесса
. Для нормального распределения асимметрия и эксцесс равны нулю. При отклонении от нормального распределения асимметрия положительна, если «длинная» и более пологая часть кривой распределения расположена справа от точки на оси абсцисс, соответствующей моде. Для правосторонней асимметрии характерно неравенство Mo
Увеличение количества наблюдений и соответственно размера совокупности данных значительно повышает практическую ценность проводимого на основе Описательной статистики исследования. Поэтому широкое применение этот инструмент анализа находит при проведении экономических исследований территориального и отраслевого масштаба, когда требуются расчет и оценка статистических характеристик множества различных экономических показателей на основе больших массивов данных по каждому их них.
3 Применение корреляционного анализа для решения экономических задач
Любая экономическая политика заключается в регулировании определенных экономических параметров и поэтому должна основываться на знании того, как эти параметры влияют на другие составляющие экономической среды.
Связь одного из показателей с другими описывается с помощью функций одной у = f(x) или нескольких у = f(x 1 , х 2 , …, х n) переменных.
На исследуемый показатель, кроме явно учитываемых объясняющих признаков, влияет еще множество других факторов, существующих в действительности, но не учитываемых явно в модели. Большинство этих факторов - случайные, незначимые или не поддающиеся количественному выражению, но они приводят к вариации реальных данных, их несовпадению с величинами, рассчитанными по формуле связи переменной с объясняющими признаками. Это обусловливает стохастическую природу как экономических показателей, так и взаимосвязей между ними. Стохастические взаимосвязи экономических переменных можно описать с помощью так называемых корреляционных характеристик.
Корреляционный анализ – это раздел математической статистики, посвященный изучению взаимосвязей между случайными величинами. Аппарат корреляционного анализа объединяет специальные статистические методы и, соответственно, показатели, значения которых определенным образом (и с определенной вероятностью) свидетельствуют о присутствии или отсутствии связи между переменными.
Основной целью корреляционного анализа является установление характера влияния факторной переменной на исследуемый показатель и определение тесноты их связи с тем, чтобы с достаточной степенью надежности строить модель развития исследуемого показателя.
Учитывая то обстоятельство, что на любой результирующий экономический показатель оказывает воздействие множество факторов, важно грамотно и обоснованно подойти к выбору наиболее значимых из них. От правильности сделанного выбора во многом будет зависеть и достоверность полученных на основе построенной модели прогнозов.
Предварительный отбор факторов для корреляционного анализа производится логически на основе содержательных экономических оценок. При этом все факторы, воздействующие на исследуемый показатель, подразделяются на два вида - формализуемые и неформализуемые. Формализуемые факторы допускают аналитический расчет с использованием экономико-математических методов по определенным алгоритмам с применением вычислительной техники или без нее. Именно такие факторы могут быть отобраны для корреляционного анализа. Неформализуемые факторы не поддаются количественному измерению и поэтому включить их в экономико-математическую модель не представляется возможным. К ним относятся политические, моральные, этические факторы, социально-психологические мотивы, привычки, традиции, опыт и др.
Поскольку корреляционная связь с достаточной выразительностью и полнотой проявляется только в массе наблюдений, объем выборки данных должен быть достаточно большим. В условиях нестабильности экономики построение длинных динамических рядов на основе годовых данных представляется нецелесообразным вследствие несопоставимости условий функционирования экономического объекта (в том числе и торгового предприятия). Поэтому число наблюдений можно увеличить за счет данных о динамике исследуемых показателей по кварталам и месяцам.
С технической точки зрения проведение корреляционного анализа сводится к расчету коэффициентов парной корреляции, значения которых помогут судить о характере и тесноте связи между исследуемым показателем и каждой отобранной факторной переменной.
Коэффициент парной корреляции используется в качестве меры, характеризующей степень линейной связи двух переменных. Значение коэффициента корреляции лежит в интервале от -1 (в случае строгой линейной отрицательной связи) до +1 (в случае строгой линейной положительной связи). Соответственно, положительное значение коэффициента корреляции свидетельствует о прямой связи между исследуемым и факторным показателем, а отрицательное - об обратной. Чем ближе значение коэффициента корреляции к 1, тем теснее связь. Качественно оценить тесноту связи позволяет специальная шкала значений коэффициентов корреляции, разработанная профессором Колумбийского университета США Чеддоком (таблица 3.1).
Таблица 3.1 - Оценка тесноты связи двух переменных на основе коэффициента корреляции
Статистическое наблюдение.
Сущность статистического наблюдения.
Начальным этапом всякого статистического исследования служит планомерный, научно организованный сбор данных о явлениях и процессах общественной жизни, называемый статистическим наблюдением. Значение этого этапа исследования определяется тем, что использование лишь вполне объективной и достаточно полной, полученной в результате статистического наблюдения, на последующих этапах в состоянии обеспечить научно обоснованные выводы о характере и закономерностях развития изучаемого объекта. Статистическое наблюдение осуществляется путем оценки и регистрации признаков единиц изучаемой совокупности в соответствующих учетных документах. Полученные таким образом данные представляют собой факты, так или иначе характеризующие явления общественной жизни. Использование аргументации, основанной на фактах, не противоречит применению теоретического анализа, поскольку всякая теория в конечном счете основывается на фактическом материале. Доказательная способность фактов еще больше возрастает в результате статистической обработки, обеспечивающей их систематизацию, представление в сжатом виде. Статистическое наблюдение следует отличать от других форм наблюдений, осуществляемых в повседневной жизни, основанных на чувственном восприятии. Статистическим можно назвать лишь такое наблюдение, которое обеспечивает регистрацию устанавливаемых фактов в учетных документах для последующего их обобщения. Конкретными примерами статистического наблюдения служит систематическое собирание сведений, например на машиностроительных предприятиях о количестве произведенных машин и узлов, издержках производства, прибыли и т. д. Статистическое наблюдение должно удовлетворять довольно жестким требованиям: 1. Наблюдаемые явления должны иметь определенное народнохозяйственное значение, научную либо практическую ценность, выражать определенные социально-экономические типы явлений. 2. Статистическое наблюдение должно обеспечить сбор массовых данных, в которых отражается вся совокупность фактов, относящихся к рассматриваемому вопросу, поскольку общественные явления находятся в постоянном изменении, развитии, имеют различные качественные состояния.
Неполные данные, недостаточно разносторонне характеризующие процесс, приводят к тому, что из их анализа делаются ошибочные выводы. 3. Многообразие причин и факторов, определяющих развитие социальных и экономических явлений, предопределяет ориентацию статистического наблюдения наряду со сбором данных, непосредственно характеризующих изучаемый объект, на учет фактов и событий, под влиянием которых осуществляется изменение его состояний. 4. Для обеспечения достоверности статистических данных на стадии статистического наблюдения необходима тщательная проверка качества собираемых фактов. Строгая достоверность его данных- одна их важнейших характеристик статистического наблюдения. Дефекты статистической информации, выражающиеся в ее недостоверности, не могут быть устранены в процессе дальнейшей обработки, поэтому их появление затрудняет принятие научно обоснованных решений и сбалансированность экономики. 5. Статистическое наблюдение должно проводиться на научной основе по заранее разработанным системе, плану и правилам (программе), обеспечивающим строго научное решение всех программно-методологических и организационных вопросов.
Программно-методологическое обеспечение статистического наблюдения.
Подготовка к статистическому наблюдению, обеспечивающая успех дела, предполагает необходимость своевременного решения ряда методологических вопросов, связанных с определением задач, цели, объекта, единицы наблюдения, разработкой программы и инструментария, определением способа сбора статистических данных. Задачи статистического наблюдения непосредственно вытекают из задач статистического исследования и состоят, в частности, в получении массовых данных непосредственно о состоянии изучаемого объекта, в учете состояния явлений, оказывающих влияние на объект, изучении данных о процессе развития явлений. Цели наблюдения определяются, прежде всего, нуждами информационного обеспечения для экономического и социального развития общества. Поставленные перед государственной статистикой цели уточняются и конкретизируются ее руководящими органами, в результате чего определяются направления и масштаб работы. В зависимости от цели решается вопрос об объекте статистического наблюдения, т.е. что именно следует наблюдать. Под объектом понимается совокупность вещественных предметов, предприятий, трудовых коллективов, лиц и т.д., посредством которых осуществляются явления и процессы, подлежащие статистическому исследованию. Объектами наблюдения в зависимости от целей могут выступать, в частности, массы единиц производственного оборудования, продукции, товарно материальных ценностей, населенных пунктов, районов, предприятий, организаций и учреждений различных отраслей народного хозяйства, население и отдельные его категории и т.д. Установление объекта статистического наблюдения связано с определением его границ на основе соответствующего критерия, выраженного некоторым характерным ограничительным признаком, называемым цензом. Выбор ценза оказывает существенное влияние на формирование однородных совокупностей, обеспечивает невозможность смешения различных объектов либо недоучета некоторой части объекта. Сущность объекта статистического наблюдения уясняется полнее при рассмотрении единиц, из которых он состоит: Единицами наблюдения служат первичные элементы объекта статистического наблюдения, являющиеся носителями регистрируемых признаков.
От единицы наблюдения следует отличать отчетную единицу. Отчетной единицей служит такая единица статистического наблюдения, от которой в установленном порядке получают информацию, подлежащую регистрации. В ряде случаев оба понятия совпадают, но нередко они имеют и вполне самостоятельное значение. Учесть все множество признаков, характеризующих объект наблюдения, оказывается невозможным и нецелесообразным, поэтому при разработке плана статистического наблюдения следует тщательно и квалифицированно решать вопрос о составе признаков, подлежащих регистрации в соответствии с поставленной целью. Перечень признаков, формулируемых в виде вопросов, обращаемых к единицам совокупности, на которые должно дать ответ статистическое исследование, представляет собой программу статистического наблюдения.
Чтобы получить исчерпывающую характеристику изучаемого явления, в составе программы должен быть учтен весь круг его существенных признаков. Однако проблематичность практического осуществления этого принципа обусловливает необходимость включения в программу лишь наиболее существенных признаков, выражающих социально-экономические типы явления, его важнейшие черты, свойства и взаимосвязи. Объем программы регламентируется величиной ресурсов, имеющихся в распоряжении статистических органов, сроками получения результатов, требованиями к степени детализации разработок и т.д. Содержание программы определяется характером и свойствами изучаемого объекта, целями и задачами исследования. К числу общих требований к составлению программы относится недопустимость включения в ее состав вопросов, на которые затруднительно получить точные, вполне достоверные ответы, дающие объективную картину той или иной ситуации. При рассмотрении некоторых наиболее важных признаков в состав программы принято включать контрольные вопросы, служащие для согласованности получаемых сведений. Чтобы усилить взаимопроверку вопросов и аналитичность программы наблюдения, взаимосвязанные вопросы располагаются в определенной последовательности, иногда в блоках взаимосвязанных признаков.
Вопросы программы статистического наблюдения должны быть сформулированы четко, ясно, лаконично, не допуская возможности различных их истолкований. В программе нередко приводится перечень возможных вариантов ответов, посредством которых уточняется смысловое содержание вопросов. Методологическое обеспечение статистического наблюдения предполагает, что одновременно с программой наблюдения составляется и программа ее разработки. Задачи исследования формулируются в перечне обобщающих статистических показателей. Эти показатели должны быть получены в результате обработки собранного материала, признаков, с которыми корреспондируется каждый показатель, и макетов статистических таблиц, где представлены результаты обработки первичной информации. Программа разработки, выявляя недостающую информацию, позволяет уточнить программу статистического наблюдения. Проведение статистического наблюдения предполагает необходимость подготовки соответствующего инструментария: формуляров и инструкции по их заполнению. Статистический формуляр - это первичный документ, в котором фиксируются ответы на вопросы программы по каждой из единиц совокупности. Формуляр, таким образом, - это носитель первичной информации. Для всех формуляров характерны некоторые обязательные элементы: содержательная часть, включающая перечень вопросов программы, свободная графа либо несколько граф для записи ответов и шифров (кодов) ответов, титульная и адресная печати. Статистические формуляры в целях обеспечения единства трактовки их содержательной части обычно сопровождаются инструкцией, т.е. письменными указаниями и разъяснениями к заполнению бланков статистического наблюдения. Инструкция разъясняет цель статистического наблюдения, характеризует его объект и единицу, время и продолжительность наблюдения, порядок оформления документации, сроки представления результатов. Однако главное назначение инструкции состоит в разъяснении содержания вопросов программы, как следует давать на них ответы и заполнять формуляр.
Виды и способы статистического наблюдения.
Успех дела сбора качественных и полных исходных данных с учетом требования экономного расходования материальных, трудовых и финансовых ресурсов во многом определяется решением вопроса о выборе вида, способа и организационной формы статистического наблюдения.
Виды статистического наблюдения.
Необходимость выбора того или иного варианта сбора статистических данных, в наибольшей мере соответствующего условиям решаемой задачи, определяется наличием нескольких видов наблюдения, различающихся прежде всего по признаку характера учета фактов во времени. Систематическое наблюдение, осуществляемое непрерывно и обязательно по мере возникновения признаков явления, называется текущим. Текущее наблюдение проводится на основе первичных документов, содержащих информацию, необходимую для достаточно полной характеристики изучаемого явления. Статистическое наблюдение, проводимое через некоторые равные промежутки времени, называется периодическим. Примером может служить перепись населения. Наблюдение, проводимое время от времени, без соблюдения строгой периодичности либо в разовом порядке, называется единовременным. Виды статистического наблюдения дифференцируются с учетом различия информации по признаку полноты охвата совокупности. В связи с этим различают сплошное и не сплошное наблюдения. Сплошным называют наблюдение, учитывающее все без исключения единицы изучаемой совокупности. Не сплошное наблюдение заведомо ориентируется на учет некоторой, как правило, достаточно массовой части единиц наблюдения, позволяющей тем не менее получить устойчивые обобщающие характеристики все статистической совокупности. В статистической практике применяются различные виды не сплошного наблюдения: выборочное, способ основного массива, анкетное и монографическое. Качество не сплошного наблюдения уступает результатам сплошного, однако в ряде случаев статистическое наблюдение вообще оказывается возможным только как не сплошное. Для получения представительной характеристики всей статистической совокупности по некоторой части ее единиц применяют выборочное наблюдение, основанное на научных принципах формирования выборочной совокупности. Случайный характер отбора единиц совокупности гарантирует беспристрастность результатов выборки, предупреждает их тенденциозность. По способу основного массива производится отбор наиболее крупных, наиболее существенных единиц совокупности, преобладающих в общей их массе по изучаемому признаку. Специфическим видом статистического наблюдения служит монографическое описание, представляющее собой детальное обследование отдельного, но весьма типичного объекта, обусловливающего интерес и с точки зрения изучения всей совокупности.
Способы статистического наблюдения.
Дифференциация разновидностей статистического наблюдения возможна также в зависимости от источников и способов получения первичной информации. В связи с этим различают непосредственное наблюдение, опрос и документальное наблюдение. Непосредственным называют наблюдение, осуществляемое путем подсчета, измерения значений признаков, снятия показаний приборов специальными лицами, осуществляющими наблюдениями, иначе говоря- регистраторами. Достаточно часто ввиду невозможности применения иных способов статистическое наблюдение осуществляется путем опроса по некоторому перечню вопросов. Ответы фиксируются в специальном формуляре. В зависимости от способов получения ответов различают экспедиционный и корреспондентский способы, а также способ саморегистрации. Экспедиционный способ опроса осуществляется в устной форме специальным лицом (счетчиком, экспедитором), заполняющим одновременно формуляр или бланк обследования.
Корреспондентский способ опроса организуется путем рассылки статистическими органами бланков обследования некоторому соответствующим образом подготовленному кругу лиц, называемых корреспондентами. Последние обязаны согласно договоренности заполнить бланк и вернуть его в статистическую организацию. Проверка правильности заполнения формуляров имеет место при опросе способом саморегистрации. Опросные листы заполняют, как и при корреспондентском способе, сами опрашиваемые, но их раздачу и сбор, а также инструктаж и контроль правильности заполнения осуществляют счетчики.
Основные организационные формы статистического наблюдения.
Все разнообразие видов и способов наблюдения осуществляется на практике посредством двух основных организационных форм: отчетности и специально организованного наблюдения. Статистическая отчетность - основная форма статистического наблюдения в социальном обществе, охватывающая все предприятия, организации и учреждения производственной и непроизводственной сфер. Отчетность- это систематическое представление в установленные сроки учетно-статистической документации в виде отчетов, всесторонне характеризующих итоги работы предприятий и учреждений в течение отчетных периодов. Отчетность непосредственно связана с первичными и бухгалтерскими учетными документами, базируется на них и представляет собой их систематизацию, т.е. результат обработки и обобщения. Отчетность осуществляется по строго установленной форме, утверждаемой Госкомстатом России. Перечень всех форм с указанием их реквизитов (принадлежностей) называется табелем отчетности. Каждая из форм отчетности должна содержать следующие сведения: наименование; номер и дату утверждения; наименование предприятия, его адрес и подчиненность; адреса, в которые представляется отчетность; периодичность, дату представления, способ передачи; содержательную часть в виде таблицы; должностной состав лиц, ответственных за разработку и достоверность отчетных данных, т.е. обязанных подписать отчет. Многообразие условий производственного процесса в различных отраслях материального производства, специфичность воспроизводственного процесса в локальных условиях, учет значимости тех или иных показателей обусловливают различие видов отчетности. Различают, прежде всего, типовую и специализированную отчетность. Типовая отчетность имеет одинаковую форму и содержание для всех предприятий либо учреждений отрасли народного хозяйства. Специализированная отчетность выражает специфические для отдельных предприятий отрасли моменты. По принципу периодичности отчетность подразделяется на годовую и текущую: квартальную, месячную, двухнедельную, недельную. В зависимости от способа передачи информации различают почтовую и телеграфную отчетность. Статистические переписи служат второй по значению организационной формой статистического наблюдения. Перепись представляет собой специально организованное статистическое наблюдение, направленное на учет численности и состава определенных объектов (явлений), а также установление качественных характеристик их совокупностей на некоторый момент времени. Переписи представляют статистическую информацию, не предусмотренную отчетностью, а в ряде случаев существенно уточняют данные текущего учета.
Для обеспечения высокого качества результатов статистических переписей осуществляется комплекс подготовительных работ. Содержание организационных мероприятий по подготовке переписей, осуществляемых согласно требованиям и правилам статистической науки, излагается в специально разрабатываемом документе, называемом организационном планом статистического наблюдения. В организационном плане должны найти решение вопросы о субъекте (исполнителе) статистического наблюдения, о месте, времени, сроках и порядке проведения, об организации переписных участков, о подборе и подготовке счетных работников, обеспечении их необходимой учетной документацией, о проведении ряда других подготовительных работ и т.д. Субъектом наблюдения выступает организация (учреждение) либо его подразделение, ответственное за наблюдение, организующее его проведение, а также непосредственно выполняющие функции по сбору и обработке статистических данных. Вопрос о месте наблюдения (месте регистрации фактов) возникает преимущественно при проведении статистико-социологических исследований и решается в зависимости от цели исследования.
Время наблюдения представляет собой период времени, в течение которого должна быть начата и завершена работа по регистрации и проверке полученных данных. Время наблюдения выбирается на основе критерия минимальной пространственной мобильности изучаемого объекта. От времени наблюдения следует отличать критический момент, к которому приурочены собранные данные.
Понятие статистического наблюдения - довольно интересная тема для рассмотрения. Статистические наблюдения используются практически везде, где только можно обусловить их применение. Вместе с тем, несмотря на обширную область применения, статистические наблюдения являются довольно-таки сложным предметом и ошибки нередки. Однако в целом статистические наблюдения как предмет для рассмотрения представляют собой большой интерес.
Идея случайного выбора. Прежде чем приступить к описанию статистических гипотез, обсудим еще раз понятие случайного выбора.
Если опустить детали и некоторые (хотя и важные) исключения, можно сказать, что весь статистический анализ основан на идее случайного выбора. Мы принимаем тезис, что имеющиеся данные появились как результат случайного выбора из некоторой генеральной совокупности, нередко - воображаемой. Обычно мы полагаем, что этот случайный выбор произведен природой. Впрочем, во многих задачах эта генеральная совокупность вполне реальна, и выбор из нее произведен активным наблюдателем.
Для краткости будем говорить, что все данные, которые мы собираемся изучить как единое целое, представляют собой одно наблюдение. Природа этого собирательного наблюдения может быть самой разнообразной. Это может быть одно число, последовательность чисел, последовательность символов, числовая таблица и т.д. Обозначим на время это собирательное наблюдение через х. Раз мы считаем х результатом случайного выбора, мы должны указать и ту генеральную совокупность, из которой х был выбран. Это значит, что мы должны указать те значения, которые могли бы появиться вместо реального х. Обозначим эту совокупность через X. Множество Х называют также выборочным пространством, или пространством выборок.
Мы предполагаем далее, что указанный выбор произошел в соответствии с неким распределением вероятностей на множестве X, согласно которому каждый элемент из Х имеет определенные шансы быть выбранным. Если Х - конечное множество, то у каждого его элемента x ; есть положительная вероятность р (х ) быть выбранным. Случайный выбор по такому вероятностному закону легко понимать буквально. Для более сложно устроенных бесконечных множеств Х приходится определять вероятность не для отдельных его точек, а для подмножеств. Случайный выбор одной из бесконечного множества возможностей вообразить труднее, он похож на выбор точки х из отрезка или пространственной области X.
Соотношение между наблюдением х и выборочным пространством X, между элементами которого распределена вероятность, - в точности такое же, как между элементарными исходами и пространством элементарных исходов, с которым имеет дело теория вероятностей. Благодаря этому теория вероятностей становится основой математической статистики, и поэтому, в частности, мы можем применять вероятностные соображения к задаче проверки статистических гипотез.
Прагматическое правило. Ясно, что раз мы приняли вероятностную точку зрения на происхождение наших данных (т.е. считаем, что они получены путем случайного выбора), то все дальнейшие суждения, основанные на этих данных, будут иметь вероятностный характер. Всякое утверждение будет верным лишь с некоторой вероятностью, а с некоторой тоже положительной вероятностью оно может оказаться неверным. Будут ли полезными такие выводы, и можно ли вообще на таком пути получить достоверные результаты?
На оба эти вопроса следует ответить положительно. Во-первых, знание вероятностей событий полезно, так как у исследователя быстро вырабатывается вероятностная интуиция, позволяющая ему оперировать вероятностями, распределениями, математическими ожиданиями и т.п., извлекая из этого пользу. Во-вторых, и чисто вероятностные результаты могут быть вполне убедительными: вывод можно считать практически достоверным, если его вероятность близка к единице.
Можно высказать следующее прагматическое правило, которым руководствуются люди и которое соединяет теорию вероятностей с нашей деятельностью.
Мы считаем практически достоверным событие, вероятность которого близка к 1;
Мы считаем практически невозможным событие, вероятность которого близка к 0.
И мы не только так думаем, но и поступаем в соответствии с этим!
Изложенное прагматическое правило, в строгом смысле, конечно, неверно, поскольку оно не защищает полностью от ошибок. Но ошибки при его использовании будут редки. Правило полезно тем, что дает возможность практически применять вероятностные выводы.
Иногда то же правило высказывают чуть по-другому: в однократном испытании маловероятное событие не происходит (и наоборот - обязательно происходит событие, вероятность которого близка к 1). Слово «однократный» вставлено ради уточнения, ибо в достаточно длинной последовательности независимых повторений опыта упомянутое маловероятное (в одном опыте!) событие встретится почти обязательно. Но это уже совсем другая ситуация.
Остается еще не разъясненным, какую вероятность следует считать малой. На этот вопрос нельзя дать количественного ответа, пригодного во всех случаях. Ответ зависит от того, какой опасностью грозит нам ошибка. Довольно часто - при проверке статистических гипотез, например, о чем см. ниже - полагают малыми вероятности, начиная с 0.01 ¸ 0.05. Другое дело - надежность технических устройств, например, тормозов автомобиля. Здесь недопустимо большой будет вероятность отказа, скажем, 0.001, так как выход из строя тормозов один раз на тысячу торможений повлечет большое число аварий. Поэтому при расчетах надежности нередко требуют, чтобы вероятность безотказной работы была бы порядка 1-10 -6 . Мы не будем обсуждать здесь, насколько реалистичны подобные требования: может ли обеспечить такую точность в расчете вероятности неизбежно приближенная математическая модель и как затем сопоставить расчетные и реальные результаты.
Предупреждения. 1. Следует дать несколько советов, как надо строить статистические модели, притом зачастую в задачах, не имеющих явного статистического характера. Для этого надо присущие обсуждаемой проблеме черты выразить в терминах, относящихся к выборочному пространству и распределению вероятностей. К сожалению, в общих словах этот процесс описать невозможно. Более того, этот процесс является творческим, и его невозможно заучить как, скажем, таблицу умножения. Но ему можно научиться, изучая образцы и примеры и следуя их духу. Мы разберем несколько таких примеров. В дальнейшем мы также будем уделять особое внимание этой стадии статистических исследований.
2. При формализации реальных задач могут возникать весьма разнообразные статистические модели. Однако математической теорией подготовлены средства для исследования лишь ограниченного числа моделей. Для ряда типовых моделей теория разработана очень подробно, и там можно получить ответы на основные вопросы, интересующие исследователя. Некоторую часть таких стандартных моделей, с которыми на практике приходится иметь дело чаще всего, мы обсудим в данной книге. Другие можно найти в более специальных и подробных руководствах и справочниках.
3. Об ограниченности математических средств стоит помнить и при математической формализации эксперимента. Если возможно, надо свести дело к типовой статистической задаче. Эти соображения особенно важны при планировании эксперимента или исследования; при сборе информации, если речь идет о статистическом обследовании; при постановке опытов, если мы говорим об активном эксперименте.
4.1.1. Статистическая модель. При статистическом (стохастическом) моделировании основными объектами моделирования являются случайные события, случайные величины и случайные функции.
При проведении экспериментов исследователь фиксирует появление или не появления интересующих событий, а также осуществляет измерения значений параметров, которые носят случайный характер и по своей сути являются значениями реализации некоторой случайной величины.
Статистическое моделирование дает возможность не проводя реальных экспериментов над исследуемым объектом (что в большинстве случаев требует больших материальных и финансовых затрат) получать соответствующую информацию о появлении или не появлении тех или иных событий происходящих в реальном объекте. о выборочных значениях случайных величин на основе имеющихся вероятностных характеристик моделируемых событий и случайных величин. Данный вид моделирования предполагает проведение предварительного сбора информации о моделируемых показателях и дальнейшей статистической обработки полученных результатов с целью получения обоснованных статистических оценок, требуемых для моделирования вероятностных характеристик.
Стохастические модели применяются в основном в двух случаях:
1) объект моделирования плохо изучен – не имеется достаточно хорошо разработанных количественных закономерностей, описывающих рассматриваемые процессы и явления, а так же нет возможности найти приемлемое аналитическое решение данной проблемы;
2) моделируемый объект изучен достаточно хорошо в детерминированном плане, но без учета случайных факторов, оказывающих влияние на изучаемые процессы и явления.
В первом случае на основе словесного описания исследуемого объекта производится выбор количественных показателей с расчетом их физической размерности состоящих из двух групп. Одна из групп рассматривается в качестве входных величин модели, а другая – выходных величин. Далее, применяя научные теоретические результаты полученные другими исследователями в данной области и возможно применяя ряд необходимых допущений, а так же возможно уже имеемые экспериментальные данные о входных и выходных величинах (например, об их законах распределения) устанавливают детерминированные или стохастические зависимости между входными выходными величинами модели. Совокупность полученных соотношений между входными и выходными величинами (обычно записываются в виде уравнений) называют статистической моделью.
В ходе реализации статистической модели на основе выбранных законов распределения случайных величин и выбранными вероятностями моделируемых событий методами математической статистики определяются выборочные до экспериментальные значения случайных величин и квазиэмпирические последовательности появления или не появления моделируемых событий. Далее, по уравнениям модели определяют соответствующие выборочные значения ее выходных величин. А многократная реализация построенной модели позволяет исследователю построить модельную выборку ее выходных величин, которая вновь подвергается статистическому анализу (корреляционному, регрессивному, дисперсионному, спектральному) с целью получения оценок характеристик выходных параметров модели или проверки выдвигаемых гипотез. На основе полученных результатов делаются заключения по объекту исследования, а также обоснования по практическому применению построенной модели.
Методы статистического моделирования широко применяются при решении задач массового обслуживания, теории оптимизации, теории управления, теоретической физике и т.д.
Теоретической основой метода статистического моделирования на компьютере являются предельные теоремы теории вероятностей.
4.1.2. Неравенство Чебышева . Для неотрицательной функции случайной величины и выполняется неравенство
.
4.1.3. Теорема Бернулли . Если проводятся независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие осуществляется с вероятностью , то относительная чистота появления события ( число благоприятных исходов испытания) при сходится по вероятности к , т.е. при
4.1.4. Теорема Пуассона . Если проводятся независимых испытаний и вероятность осуществления события в том испытании равна , то относительная чистота появления события ( число благоприятных исходов испытания) при сходится по вероятности к среднему из вероятностей , т.е. при
4.1.5. Теорема Чебышева . Если в независимых испытаниях наблюдаются значения случайной величины , то при среднее арифметическое значений случайной величины сходится по вероятности к ее математическому ожиданию , т.е. при
4.1.6. Обобщенная теорема Чебышева . Если независимые случайные величины с математическими ожиданиями и дисперсиями ограниченными сверху одним и тем же числом, то при среднее арифметическое значений случайной величины сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий
4.1.7. Теорема Маркова .. Теорема Чебышева будет справедлива и для зависимых случайных величин , если
4.1.8. Центральная предельная теорема . Если независимые одинаково распределенные случайные величины с математическое ожидание и дисперсию , то при закон распределения суммы неограниченно приближается к нормальному закону распределения
где функция Лапласа
4.1.9. Теорема Лапласа . Если в каждом из независимых испытаний событие появляется с вероятностью , то
