Что такое логарифм. Из истории логарифмов Основные свойства логарифмов

Открытие логарифмов опиралось на хорошо известные к концу 16 в. свойства прогрессий. Многие математики замечали, что умножению, делению, возведению в степень и извлечению корня в геометрической прогрессии соответствуют в арифметической прогрессии (в том же порядке) сложение, вычитание, умножение и деление. Настоящим триумфом стало открытие логарифмов как показателей степеней. Основные свойства логарифмов позволяют заменить умножение, возведение в степень и более простыми действиями сложения, вычитания, .

Логарифмы были изобретены независимо друг от друга Непером и Бюрги в начале 16 в. В 1614 г. Непер опубликован свое "Описание удивительной таблицы логарифмов", содержавшее определение логарифмов (и их свойства), которые теперь мы называем Неперовыми логарифмами, а в 1620 г. швейцарец Иост Бюрги (1552-1632) – опубликовал книгу "Таблицы арифметической и геометрической прогрессий, вместе с основательным наставлением, как их нужно понимать и с пользой применять во всяческих вычислениях". Однако таблицы Бюрги не получили значительного распространения.

Открытие логарифмов Непером, в первые же годы приобрело исключительно широкую известность. С логарифмами многие расчеты пошли в десятки раз быстрее и легче. Недаром великий французский математик Пьер Симон Лаплас говорил, что "изобретение логарифмов удлинило жизнь".

Термин "логарифм" (logarithmus) тоже принадлежит Неперу. Он возник из сочетания греческих слов: logos – "отношение" и arithmus – "число", т. е. означало число отношений. Однако ни у Непера, ни у Бюрги не было, строго говоря, основания логарифмов, поскольку логарифм единицы отличается от . Даже значительно позднее, когда уже перешли к десятичным и натуральным логарифмам, еще не было сформулировано определение логарифма как показателя степени данного основания.

Таблицы Непера, приспособленные к тригонометрическим вычислениям, были неудобны для действий с подобными числами. В 1615 г. Непер познакомился с Генри Бригсом (1561-1631) – профессором математики Грешем-колледжа, который тоже задумывался над тем, как усовершенствовать таблицы логарифмов. В ходе беседы с Бригсом Непер предложил составить таблицы логарифмов, приняв за логарифм единицы нуль, а за логарифм десяти - просто единицу, и таким образом устранить имевшиеся недостатки. Воплотить свои идеи в жизнь Непер не смог из-за пошатнувшегося здоровья, но он указал идею двух вычислительных приемов, развитых далее Бригсом.

В 1617 г. Бригс опубликовал первые результаты своих кропотливых вычислений – "Первую тысячу логарифмов". В этих таблицах были даны восьмизначные десятичные логарифмы чисел от 1 до 1000. Позднее (в 1624 г.), уже после того как он стал профессором в Оксфорде, Бригс выпустил "Логарифмическую арифметику". В книге содержались четырнадцатизначные логарифмы чисел от 1 до 20000 и от 90000 до 100000.

Сам термин "натуральный логарифм" в 1659 г. ввел Пьетро Менголи – итальянский математик, преподававший в Болонском университете, а знак Log был введен в 1624 г. Иоганном Кеплером (1571-1630), знаменитым немецким математиком, астрономом и оптиком, открывшим законы движения планет.

Следует отметить огромную работу, проделанную голландским математиком Андрианом Влакком. В 1628 г. он издал десятизначные таблицы логарифмов от 1 до 100000. Таблицы Влакка легли в основу большинства последующих таблиц, причем их авторы внесли много изменений в структуру логарифмических таблиц и поправок. В России таблицы логарифмов впервые были изданы в 1703 г. Л. Ф. Магницким.

За основание Бригговых логарифмов, как уже отмечалось, было взято число 10. В случае же Неперовых логарифмов сама константа (основание логарифмов) явно не определена. Первое известное использование этой константы, где она обозначалась буквой встречается в письмах Готфрида Лейбница к Кристиану Гюйгенсу в 1690 и 1691 гг. Букву е начал использовать Леонард Эйлер в 1727 г., а первой публикацией с использованием этой буквы была его работа "Механика, или Наука о движении, наложенная аналитически" (1736). Соответственно, е иногда называют числом Эйлера. В 1874 г. французский математик Ш. Эрмит доказал, что основание натуральных логарифмов е трансцендентно (как ). Величина е = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 49.

Число е можно запомнить по следующему : два и семь, далее два раза год рождения Льва Толстого (1828), а затем углы равнобедренного прямоугольного треугольника (45. 90 и 45 градусов). А вот еще один оригинальный способ запоминания: предлагается запомнить число е с точностью до трех знаков после запятой через "число дьявола": нужно разделить 666 на число, составленное из цифр 6 - 4, 6 - 2, 6 - 1 (три шестерки, из которых в обратном порядке удаляются три первые степени двойки): 666/245 = 2,718.

Единственным способом реализации дальних путешествий было мореплавание, что всегда связано с выполнением больших объемов навигационных вычислений. Сейчас трудно представить процесс изнурительных расчетов при умножении-делении пяти-шестизначных чисел «вручную». богослов по роду своей основной деятельности, занимаясь на досуге тригонометрическими расчетами, догадался заменить трудоемкую процедуру умножения простым сложением. Он сам говорил, что его целью было «освободиться от трудности и скуки вычислений, которые отпугивают многих от изучения математики». Усилия увенчались успехом - был создан математический аппарат, названный системой логарифмов.

Итак, что такое логарифм? Основой логарифмических вычислений является иное представление числа: вместо обычной позиционной системы, как мы привыкли, число A представляется в виде степенного выражения, где некое произвольное число N, называемое основанием степени, возводится в такую степень n, что в результате получается число A. Таким образом, n - это логарифм числа А по основанию N. Выбор основания логарифмов определяет название системы. Для простых вичислений применяется десятичная система логарифмов, а в науке и технике широко используется система натуральных логарифмов, где основанием служит иррациональное число е=2,718. Выражение, определяющее логарифм числа А, на языке математики записывается так:

n=log(N)A, где N - основание степени.

Десятичный и натуральный логарифмы имеют свое специфичное сокращенное написание - lgA и lnA, соответственно.

В системе расчетов, использующей вычисление логарифмов, основным элементом является преобразование числа к степенному виду с помощью таблицы логарифмов по некоторому основанию, например 10. Эта манипуляция не представляет никаких сложностей. Далее используется свойство степенных чисел, состоящее в том, что при умножении их степени складываются. Практически это означает, что умножение чисел с логарифмическим представлением, заменяется сложением их степеней. Поэтому, вопрос «что такое логарифм», если его продолжить до «а зачем он нам нужен», имеет простой ответ - чтоб упростить процедуру умножения-деления многоразрядных чисел - ведь сложение «в столбик» значительно проще умножения «в столбик». Кто не верит - пусть попробует сложить и умножить два восьмиразрядных числа.

Первые таблицы логарифмов (по основанию с опубликовал в 1614 году Джон Непер, а полностью лишенный ошибок вариант, включающий и таблицы десятичных логарифмов, появился в 1857 году и известен как таблицы Бремикера. Использование логарифмов с основанием в виде обусловлено тем, что число е довольно просто получить через ряд Тейлора, имеющий широкое применение в интегральном и

Суть данной вычислительной системы содержится в ответе на вопрос «что такое логарифм» и вытекает из основного логарифмического тождества: N(основание логарифма) n, равную логарифму числа А(logA), равно этому числу A. При этом А>0, т.е. логарифм определяется только для положительных чисел, а основание логарифма всегда больше 0 и не равно 1. Исходя из сказанного, свойства натурального логарифма можно сформулировать следующим образом:

1. Область определения натурального логарифма - вся числовая ось от 0 до бесконечности.
2. ln x = 0 - следствие известного соотношения - любое число в нулевой степени равно 1.
3. ln (X*Y) = ln X + lnY - наиболее важное для вычислительных манипуляций свойство - логарифм произведения двух чисел рамен сумме логарифмов каждого из них.
4. ln (X/Y) = ln X - lnY - логарифм частного двух чисел равен разности логарифмов этих чисел.
5. ln (X)n =n*ln X .
6. Натуральный логарифм представляет собой дифференцируемую, выпуклую вверх функцию, причем ln’ X = 1 / X
7. log (N)A =K* ln A - логарифм по любому положительному и отличному от числа е основанию отличается от натурального только коэффициентом.

Сейчас каждый школьник знает, что такое логарифм, но благодаря прогрессу в области прикладной вычислительной техники проблемы вычислительных работ ушли в прошлое. Тем не менее, логарифмы, уже как математический инструмент, используются при решении уравнений с неизвестными в показателе степени, в выражениях для нахождения времени

(от греческого λόγος - «слово», «отношение» и ἀριθμός - «число») числа b по основанию a (log α b ) называется такое число c , и b = a c , то есть записи log α b =c и b=a c эквивалентны. Логарифм имеет смысл, если a > 0, а ≠ 1, b > 0.

Говоря другими словами логарифм числа b по основанию а формулируется как показатель степени , в которую надо возвести число a , чтобы получить число b (логарифм существует только у положительных чисел).

Из данной формулировки вытекает, что вычисление x= log α b , равнозначно решению уравнения a x =b.

Например:

log 2 8 = 3 потому, что 8=2 3 .

Выделим, что указанная формулировка логарифма дает возможность сразу определить значение логарифма , когда число под знаком логарифма выступает некоторой степенью основания. И в правду, формулировка логарифма дает возможность обосновать, что если b=a с , то логарифм числа b по основанию a равен с . Также ясно, что тема логарифмирования тесно взаимосвязана с темой степени числа .

Вычисление логарифма именуют логарифмированием . Логарифмирование - это математическая операция взятия логарифма. При логарифмировании, произведения сомножителей трансформируется в суммы членов.

Потенцирование - это математическая операция обратная логарифмированию. При потенцировании заданное основание возводится в степень выражения, над которым выполняется потенцирование. При этом суммы членов трансформируются в произведение сомножителей.

Достаточно часто используются вещественные логарифмы с основаниями 2 (двоичный), е число Эйлера e ≈ 2,718 (натуральный логарифм) и 10 (десятичный).

На данном этапе целесообразно рассмотреть образцы логарифмов log 7 2, ln√ 5, lg0.0001.

А записи lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 не имеют смысла, так как в первой из них под знаком логарифма помещено отрицательное число , во второй - отрицательное число в основании, а в третьей - и отрицательное число под знаком логарифма и единица в основании.

Условия определения логарифма.

Стоит отдельно рассмотреть условия a > 0, a ≠ 1, b > 0.при которых дается определение логарифма . Рассмотрим, почему взяты эти ограничения. В это нам поможет равенство вида x = log α b , называемое основным логарифмическим тождеством , которое напрямую следует из данного выше определения логарифма.

Возьмем условие a≠1 . Поскольку единица в любой степени равна единице, то равенство x=log α b может существовать лишь при b=1 , но при этом log 1 1 будет любым действительным числом . Для исключения этой неоднозначности и берется a≠1 .

Докажем необходимость условия a>0 . При a=0 по формулировке логарифма может существовать только при b=0 . И соответственно тогда log 0 0 может быть любым отличным от нуля действительным числом, так как нуль в любой отличной от нуля степени есть нуль. Исключить эту неоднозначность дает условие a≠0 . А при a<0 нам бы пришлось отвергнуть разбор рациональных и иррациональных значений логарифма, поскольку степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Именно по этой причине и оговорено условие a>0 .

И последнее условие b>0 вытекает из неравенства a>0 , поскольку x=log α b , а значение степени с положительным основанием a всегда положительно.

Особенности логарифмов.

Логарифмы характеризуются отличительными особенностями , которые обусловили их повсеместное употребление для значительного облегчения кропотливых расчетов. При переходе «в мир логарифмов» умножение трансформируется на значительно более легкое сложение, деление — на вычитание, а возведение в степень и извлечение корня трансформируются соответствующе в умножение и деление на показатель степени.

Формулировку логарифмов и таблицу их значений (для тригонометрических функций) впервые издал в 1614 году шотландский математик Джон Непер. Логарифмические таблицы, увеличенные и детализированные прочими учеными, широко использовались при выполнении научных и инженерных вычислений, и оставались актуальными пока не стали применяться электронные калькуляторы и компьютеры.

В шестнадцатом веке быстрыми темпами развивалось мореплавание. Поэтому совершенствовались наблюдения за небесными телами. Для упрощения астрономических расчетов в конце 16 – начале 17 веков возникли логарифмические вычисления.

Ценность логарифмического метода заключается в сведении умножения и деления чисел к сложению и вычитанию. Действиям менее трудоемким. Особенно если приходится работать с многозначными числами.

Метод Бюрги

Первые логарифмические таблицы были составлены швейцарским математиком Йостом Бюрги в 1590 году. Суть его метода состояла в следующем.

Чтобы умножить, например, 10 000 на 1 000, достаточно сосчитать число нулей в множимом и множителе, сложить их (4 + 3) и записать произведение 10 000 000 (7 нулей). Сомножители – целые степени числа 10. При умножении показатели степеней складываются. Также выполняется и деление. Оно заменяется вычитанием показателей степеней.

Таким образом, можно делить и умножать не все числа. Но их станет больше, если в качестве основания взять число, близкое к 1. Например, 1,000001.

Так и поступил четыреста лет назад математик Йост Бюрги. Правда свою работу «Таблицы арифметической и геометрической , вместе с основательным наставлением…» он опубликовал только в 1620 году.

Родился Йост Бюрги 28 февраля 1552 года в Лихтенштейне. С 1579 по 1604 год служил придворным астрономом у ландграфа Гессен-Касселя Вильгельма IV. Позже у императора Рудольфа II в Праге. За год до своей смерти, в 1631 году, в Кассель. Бюрги известен и как изобретатель первых маятниковых часов.

Таблицы Непера

В 1614 году появились таблицы Джона Непера. Этот ученый тоже брал за основание число, близкое к единице. Но оно было меньше единицы.

Шотландский барон Джон Непер (1550-1617) учился на родине. Любил путешествовать. Побывал в Германии, Франции и Испании. В 21 год вернулся в семейное поместье недалеко от Эдинбурга и прожил там до смерти. Занимался богословием и математикой. Последнюю изучал по сочинениям Евклида, Архимеда и Коперника.

Десятичные логарифмы

Неперу и англичанину Бриггу принадлежит идея составления таблицы десятичных логарифмов. Работу по пересчету ранее составленных таблиц Непера они начали вместе. После смерти Непера Бригг ее продолжил. Работу он опубликовал в 1624 году. Поэтому десятичные называют еще бригговыми.

Составление логарифмических таблиц потребовало от ученых многолетней трудоемкой работы. Зато во много раз повысилась производительность труда тысяч вычислителей, которые пользовались составленными ими таблицами.

Логарифмы

История логарифмов

Название введено Непером, происходит от греческих слов logoz и ariumoz - оно означает буквально “числа отношений”. Логарифмы были изобретены Непером. Непер изобрел логарифмы не позднее 1594 года. Логарифмы с основанием a ввел учитель математики Спейдел. Слово основание заимствовано из теории о степенях и перенесено в теорию логарифмов Эйлером. Глагол “логарифмировать” появился в 19 веке у Коппе. Коши первый предложил ввести различные знаки для десятичных и натуральных логарифмов. Обозначения, близкие к современным ввел немецкий математик Прингсхейм в 1893 году. Именно он обозначал логарифм натурального числа через ln . Определение логарифма как показателя степени данного основания можно найти у Валлиса (1665 год), Бернулли (1694 год).

Определение логарифма

Логарифмом числа b>0 по основанию a>0, a ≠ 1 , называется показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b.

Логарифм числа b по основанию a обозначается: log a b

Основное логарифмическое тождество

Это равенство является просто другой формой определения логарифма. Его часто называют основным логарифмическим тождеством.

Пример

1. 3=log 2 8, так как 2³=8

2. ½=log 3 √3 , так как 3= √3

3. 3 log 3 1/5 =1/5

4. 2=log √5 5, так как (√5)²=5

Натуральный и десятичный логарифмы

Натуральным называется логарифм, основание которого равно e. Обозначается ln b, т.е.

Десятичным называется логарифм, основание которого равно 10. Обозначается lg b, т.е.

Основные свойства логарифмов

Пусть: a > 0, a ≠ 1. Тогда:

1. log a x*y=logax+logay (x>0, y>0)

2. log a y/x=logax−logay (x>0, y>0)

3. log a x p =p*logax (x>0)

4. log a p x=1/p*logax (x>0)

Пример

1) log 8 16+log 8 4= log 8 (16 4)= log 8 64= 2;

2) log 5 375– log 5 3= log 5 375/3=log 5 125= 3;

3) ½log 3 36+ log 3 2- log 3 √6- ½ log 3 8=log 3 √36+ log 3 2-(log 3 √6+log 3 √8) =log 3 12/4 √3=log 3 √3= ½.

Формы перехода от логарифма по одному основанию к логарифмы по другому основанию

1. log a b=log c b/log c a

2. log a b=1/log b a

Логарифмические уравнения

1) Уравнение содержащие переменную под знаком логарифма (log) называются логарифмическими. Простейшим примером логарифмического уравнения служит уравнение вида: log a x=b, где а>0 и а=1.

2) Решение логарифмического уравнения вида: log a f(x)=log a g(x) (1) основано на том, что оно равносильно уравнению вида f(x) = g(x) (2) при дополнительных условиях f(x)>0 и g(x)>0.

3) При переходе от уравнения (1) к уравнению (2) возможно появление посторонних корней поэтому для них выявления требуется проверка.

4) При решении логарифмических уравнений часто используется метод подстановки.

Вывод

Логарифм число, применение которого позволяет упростить многие сложные операции арифметики. Использование в вычислениях вместо чисел их логарифмов позволяет заменить умножение более простой операцией сложения, деление - вычитанием, возведение в степень - умножением и извлечение корней - делением.